Derivada total de una función compleja. Diferenciar una función compleja de varias variables

Se da una prueba de la fórmula derivada. función compleja. Se consideran en detalle los casos en los que una función compleja depende de una o dos variables. Se hace una generalización al caso de un número arbitrario de variables.

Ver también: Ejemplos de uso de la fórmula para la derivada de una función compleja.

Fórmulas básicas

Aquí proporcionamos la derivación de las siguientes fórmulas para la derivada de una función compleja.
Si entonces
.
Si entonces
.
Si entonces
.

Derivada de una función compleja a partir de una variable

Sea una función de la variable x representada como una función compleja de la siguiente forma:
,
donde hay algunas funciones. La función es diferenciable para algún valor de la variable x.
La función es diferenciable por el valor de la variable.
(1) .

Entonces la función compleja (compuesta) es diferenciable en el punto x y su derivada está determinada por la fórmula:
;
.

La fórmula (1) también se puede escribir de la siguiente manera:

Prueba
;
.
Introduzcamos la siguiente notación.

Aquí hay una función de las variables y , hay una función de las variables y .
;
.

Pero omitiremos los argumentos de estas funciones para no saturar los cálculos.
.
Dado que las funciones y son diferenciables en los puntos x y , respectivamente, entonces en estos puntos existen derivadas de estas funciones, que son los siguientes límites:
.
Considere la siguiente función:
.

Para un valor fijo de la variable u, es una función de .
.
Considere la siguiente función:
.

Es obvio que

.

Entonces

Dado que la función es una función derivable en el punto, es continua en ese punto. Es por eso

Ahora encontramos la derivada.
,
La fórmula está probada.
.
Consecuencia

Si una función de una variable x se puede representar como una función compleja de una función compleja
entonces su derivada está determinada por la fórmula
.
Aquí y hay algunas funciones diferenciables.
.
Para probar esta fórmula, calculamos secuencialmente la derivada usando la regla para derivar una función compleja.
.
Aquí y hay algunas funciones diferenciables.
.

Considere la función compleja

su derivado Considere la función original.

Derivada de una función compleja a partir de dos variables
,
Ahora dejemos que la función compleja dependa de varias variables. Primero veamos
y existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x;
- una función de dos variables, diferenciable en el punto , .
(2) .

La fórmula (1) también se puede escribir de la siguiente manera:

Entonces la función compleja se define en una determinada vecindad del punto y tiene una derivada, que está determinada por la fórmula:
;
.
Dado que las funciones y son diferenciables en el punto, están definidas en una determinada vecindad de este punto, son continuas en el punto y sus derivadas existen en el punto, que son los siguientes límites:
;
.
Aquí
;
.

Debido a la continuidad de estas funciones en un punto, tenemos:
(3) .
Dado que las funciones y son diferenciables en el punto, están definidas en una determinada vecindad de este punto, son continuas en el punto y sus derivadas existen en el punto, que son los siguientes límites:

Dado que la función es diferenciable en el punto, se define en una determinada vecindad de este punto, es continua en este punto y su incremento se puede escribir de la siguiente forma:
;

- incremento de una función cuando sus argumentos se incrementan en valores y;
- derivadas parciales de la función con respecto a las variables y .
;
.
Para valores fijos de y , y son funciones de las variables y .
;
.

Tienden a cero en y:

. :
.
Desde y entonces



.

Entonces

Incremento de función:

Sustituyamos (3):

Derivada de una función compleja a partir de varias variables La conclusión anterior se puede generalizar fácilmente al caso en que el número de variables de una función compleja sea más de dos. Por ejemplo, si f es
,
Ahora dejemos que la función compleja dependa de varias variables. Primero veamos
función de tres variables
, Eso
, y existen funciones diferenciables para algún valor de la variable x;
(4)
.
- función diferenciable de tres variables en el punto , , .
; ; ,
Luego, de la definición de diferenciabilidad de la función, tenemos:
;
;
.

Porque, debido a la continuidad,
.

Eso Dividiendo (4) por y pasando al límite, obtenemos:.
Y finalmente, consideremos
,
Ahora dejemos que la función compleja dependa de varias variables. Primero veamos
el caso más general
Sea una función de la variable x representada como una función compleja de n variables de la siguiente forma:
, , ... , .
Considere la siguiente función:
.

- función diferenciable de n variables en un punto

Ver también: ) ya nos hemos encontrado repetidamente con derivadas parciales de funciones complejas como ejemplos más difíciles. Entonces, ¿de qué más puedes hablar? ...Y todo es como en la vida: no hay complejidad que no pueda ser complicada =) Pero las matemáticas son para eso, para encajar la diversidad de nuestro mundo en un marco estricto. Y a veces esto se puede hacer con una sola frase: En general, la función compleja tiene la forma, Dónde, al menos uno de letras representa función, que puede depender de

arbitrario número de variables. La opción mínima y más simple es la conocida función compleja de una variable, (eche un vistazo a las mismas funciones ) .

Por lo tanto, ahora nos interesará solo el caso. Debido a la gran variedad de funciones complejas, las fórmulas generales de sus derivadas son muy engorrosas y difíciles de digerir. En este sentido, me limitaré a ejemplos específicos a partir de los cuales se puede entender el principio general de encontrar estas derivadas:

Ejemplo 1

Dada una función compleja donde . Requerido:
1) encuentre su derivada y escriba el diferencial total de primer orden;
2) calcular el valor de la derivada en .

Solución: Primero, veamos la función en sí. Se nos ofrece una función dependiendo de y , que a su vez son funciones una variable:

En segundo lugar, prestemos mucha atención a la tarea en sí: debemos encontrar derivado, es decir, ¡no estamos hablando de derivadas parciales, que estamos acostumbrados a encontrar! Desde la función En realidad depende de una sola variable, entonces la palabra "derivada" significa derivada total. ¿Cómo encontrarla?

Lo primero que me viene a la mente es la sustitución directa y una mayor diferenciación. sustituyamos para funcionar:
, después de lo cual no hay problemas con la derivada deseada:

Y, en consecuencia, el diferencial total:

Esta solución es matemáticamente correcta, pero un pequeño matiz es que cuando el problema se formula como está formulado, nadie espera tal barbarie de usted =) Pero en serio, aquí realmente se pueden encontrar fallas. Imagine que una función describe el vuelo de un abejorro y las funciones anidadas cambian según la temperatura. Realizar una sustitución directa , solo obtenemos información privada, que caracteriza el vuelo, digamos, sólo en climas cálidos. Además, si a una persona que no sabe nada de abejorros se le presenta el resultado final e incluso se le dice cuál es esta función, ¡nunca aprenderá nada sobre la ley fundamental del vuelo!

Entonces, de manera completamente inesperada, nuestro animado hermano nos ayudó a comprender el significado y la importancia de la fórmula universal:

Acostúmbrese a la notación de "dos pisos" para las derivadas: en la tarea que estamos considerando, son las que se utilizan. En este caso, uno debería ser muy limpio en la entrada: los derivados con símbolo directo “de” son derivadas completas, y los derivados con iconos redondeados son derivadas parciales. Empecemos por los últimos:

Bueno, con las “colas” todo es generalmente elemental:

Sustituyamos las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Cuando una función se propone inicialmente de forma intrincada, será lógico (¡y esto se explica arriba!) Deja los resultados como están:

Al mismo tiempo, en las respuestas "sofisticadas" es mejor abstenerse de simplificaciones mínimas. (aquí, por ejemplo, pide que le eliminen 3 desventajas)- y tienes menos trabajo, y tu amigo peludo estará feliz de revisar la tarea más fácilmente.

Sin embargo, una verificación aproximada no será superflua. sustituyamos en la derivada encontrada y realizar simplificaciones:


(en el último paso utilizamos fórmulas trigonométricas , )

Como resultado, se obtuvo el mismo resultado que con el método de solución "bárbaro".

Calculemos la derivada en el punto. Primero conviene conocer los valores de “tránsito” (valores de función ) :

Ahora hacemos los cálculos finales, que en este caso se pueden realizar de diferentes formas. Utilizo una técnica interesante en la que los "pisos" tercero y cuarto no se simplifican según las reglas habituales, sino que se transforman como el cociente de dos números:

Y, por supuesto, es pecado no comprobar utilizando una notación más compacta. :

Respuesta:

Sucede que el problema se plantea en forma “semigeneral”:

"Encuentra la derivada de la función donde »

Es decir, no se da la función "principal", pero sus "inserciones" son bastante específicas. La respuesta debe darse en el mismo estilo:

Además, la condición se puede cifrar ligeramente:

"Encuentra la derivada de la función. »

En este caso necesitas por cuenta propia designar funciones anidadas con algunas letras adecuadas, por ejemplo, mediante y usa la misma fórmula:

Por cierto, sobre las designaciones de letras. En repetidas ocasiones he instado a no "aferrarse a las letras" como salvavidas, ¡y ahora esto es especialmente relevante! Al analizar varias fuentes sobre el tema, en general tuve la impresión de que los autores "se volvieron locos" y comenzaron a arrojar sin piedad a los estudiantes al tormentoso abismo de las matemáticas =) Así que perdóname :))

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función. , Si

¡Otras designaciones no deberían causar confusión! Cada vez que te encuentres con una tarea como esta, debes responder dos preguntas simples:

1) ¿De qué depende la función “principal”? En este caso, la función “zet” depende de dos funciones (“y” y “ve”).

2) ¿De qué variables dependen las funciones anidadas? En este caso, ambas “inserciones” dependen únicamente de la “X”.

¡Así que no deberías tener ninguna dificultad para adaptar la fórmula a esta tarea!

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

Se pueden encontrar ejemplos adicionales del primer tipo en El libro de problemas de Ryabushko (IDZ 10.1) Bueno, nos dirigimos hacia función de tres variables:

Ejemplo 3

Dada una función donde .
Calcular la derivada en el punto

La fórmula para la derivada de una función compleja, como muchos suponen, tiene una forma relacionada:

Decide una vez que lo hayas adivinado =)

Por si acaso te daré fórmula general para función:
, aunque en la práctica es poco probable que vea algo más largo que el Ejemplo 3.

Además, a veces es necesario diferenciar una versión "truncada", como regla general, una función de la forma o. Dejo esta pregunta para que la estudies por tu cuenta: crea algunos ejemplos simples, piensa, experimenta y deriva fórmulas abreviadas para derivadas.

Si algo aún no está claro, vuelva a leer lentamente y comprenda la primera parte de la lección, porque ahora la tarea se volverá más complicada:

Ejemplo 4

Encuentra las derivadas parciales de una función compleja, donde

Solución: esta función tiene la forma , y después de sustitución directa obtenemos la función habitual de dos variables:

Pero ese miedo no sólo no se acepta, sino que ya no se quiere diferenciar =) Por lo tanto, utilizaremos fórmulas ya preparadas. Para ayudarte a comprender rápidamente el patrón, tomaré algunas notas:

Mire atentamente la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha….

Primero, encontremos las derivadas parciales de la función "principal":

Ahora encontramos las derivadas “X” de los “liners”:

y escribe la derivada final “X”:

Lo mismo ocurre con el “juego”:

Y

Puedes ceñirte a otro estilo: encuentra todas las "colas" a la vez y luego escribe ambas derivadas.

Respuesta:

Acerca de la sustitución De alguna manera no pienso en eso en absoluto =) =), pero puedes modificar un poco los resultados. Aunque, de nuevo, ¿por qué? – sólo hará que al profesor le resulte más difícil comprobarlo.

Si es necesario, entonces diferencial completo aquí está escrito según la fórmula habitual y, por cierto, es en este paso donde se vuelven apropiados los cosméticos ligeros:


Esto es... ...un ataúd sobre ruedas.

Debido a la popularidad del tipo de función compleja que estamos considerando, existen un par de tareas que usted debe resolver. Un ejemplo más sencillo en forma “semigeneral” sirve para entender la fórmula misma ;-):

Ejemplo 5

Encuentra las derivadas parciales de la función, donde

Y más complicado, con la inclusión de técnicas de diferenciación:

Ejemplo 6

Encuentra el diferencial completo de una función. , Dónde

No, no estoy tratando de "enviarte al fondo" en absoluto; todos los ejemplos están tomados de trabajos reales y "en alta mar" puedes encontrar cualquier letra. En cualquier caso, será necesario analizar la función. (respondiendo 2 preguntas – ver arriba), presentarlo en forma general y modificar cuidadosamente las fórmulas de derivadas parciales. Puede que ahora estés un poco confundido, ¡pero comprenderás el principio mismo de su construcción! Porque los verdaderos desafíos apenas comienzan :)))

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales y construye el diferencial completo de una función compleja.
, Dónde

Solución: la función "principal" tiene la forma y aún depende de dos variables: "x" e "y". Pero en comparación con el ejemplo 4, se agregó otra función anidada y, por lo tanto, las fórmulas de derivadas parciales también se alargan. Como en ese ejemplo, para una mejor visualización del patrón, resaltaré las derivadas parciales “principales” en diferentes colores:

Y nuevamente, estudie cuidadosamente el registro de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Dado que el problema está formulado en forma “semigeneral”, todo nuestro trabajo se limita esencialmente a encontrar derivadas parciales de funciones integradas:

Un niño de primer grado puede manejar:

E incluso el diferencial completo resultó bastante bueno:

Deliberadamente no les ofrecí ninguna función específica, para que un desorden innecesario no interfiera con una buena comprensión de diagrama esquemático tareas.

Respuesta:

Muy a menudo se pueden encontrar inversiones de “tamaño mixto”, por ejemplo:

Aquí la función "principal", aunque tiene la forma, todavía depende tanto de "x" como de "y". Por lo tanto, funcionan las mismas fórmulas: solo que algunas derivadas parciales serán iguales a cero. Además, esto también es cierto para funciones como , en el que cada “revestimiento” depende de una variable.

Una situación similar ocurre en los dos últimos ejemplos de la lección:

Ejemplo 8

Encuentra el diferencial total de una función compleja en un punto.

Solución: la condición se formula de forma "presupuestaria" y debemos etiquetar las funciones anidadas nosotros mismos. Creo que esta es una buena opción:

Los “insertos” contienen ( ¡ATENCIÓN!) TRES letras son el viejo “X-Y-Z”, lo que significa que la función “principal” en realidad depende de tres variables. Puede reescribirse formalmente como , y las derivadas parciales en este caso están determinadas por las siguientes fórmulas:

Escaneamos, profundizamos, capturamos….

En nuestra tarea:

Diferenciar funciones complejas

Sea para la función norte- los argumentos de las variables también son funciones de las variables:

Es válido el siguiente teorema sobre la derivación de una función compleja.

Teorema 8. Si las funciones son diferenciables en el punto , y la función es diferenciable en el punto correspondiente, donde , . Entonces la función compleja es derivable en el punto y las derivadas parciales están determinadas por las fórmulas

donde las derivadas parciales se calculan en el punto y se calculan en el punto.

Demostremos este teorema para una función de dos variables. Vamos, a.

Dejemos que haya incrementos arbitrarios de argumentos en el punto. Corresponden a incrementos de funciones y en el punto. Incrementa y corresponde al incremento de la función en el punto. Como es diferenciable en el punto, su incremento se puede escribir en la forma

donde y se calculan en el punto , en y . Debido a la diferenciabilidad de funciones y en el punto, obtenemos

donde se calcula en el punto ; .

Sustituyamos (14) en (13) y reorganicemos los términos.

Tenga en cuenta que en , desde y tienden a cero en . Esto se desprende del hecho de que los infinitesimales en y . Pero las funciones también son diferenciables y, por tanto, continuas en el punto. Por lo tanto, si y, entonces. Entonces y a las .

Dado que las derivadas parciales se calculan en el punto, obtenemos

denotemos

y esto significa que es diferenciable con respecto a las variables y , y

Consecuencia. Si , y , , es decir , entonces la derivada con respecto a la variable t calculado por la fórmula

Si entonces

La última expresión se llama la fórmula de la derivada total para una función de muchas variables.

Ejemplos. 1) Encuentre la derivada total de la función, donde , .

Solución.

2) Encuentra la derivada completa de la función si , .

Solución.

Usando las reglas de derivación de una función compleja, obtenemos una propiedad importante del diferencial de una función de varias variables.

si es independiente funciones variables, entonces el diferencial por definición es igual a:

Sean ahora los argumentos funciones diferenciables en algún punto de la función con respecto a las variables, y la función sea diferenciable con respecto a las variables,. Entonces puede considerarse como una función compleja de las variables , . Según el teorema anterior, es diferenciable y la relación se cumple

donde está determinado por las fórmulas (12). Sustituyamos (12) en (17) y, sumando los coeficientes de , obtenemos

Dado que el coeficiente de la derivada es igual al diferencial de la función, nuevamente obtuvimos la fórmula (16) para el diferencial de una función compleja.

Por tanto, la primera fórmula diferencial no depende de si sus argumentos son funciones o si son independientes. Esta propiedad se llama Invariancia de la forma del primer diferencial.

La fórmula de Taylor (29) también se puede escribir como

Realizaremos la demostración para una función de dos variables o .

Primero veamos una función de una variable. Sea una vez diferenciable en una vecindad del punto. La fórmula de Taylor para una función de una variable con un término restante en la fórmula de Lagrange tiene

Como es una variable independiente, entonces. Por definición del diferencial de una función de una variable.

Si denotamos , entonces (31) se puede escribir como

Consideremos alguna vecindad de un punto y un punto arbitrario en él y conectemos los puntos con un segmento de línea recta. Está claro que las coordenadas y puntos de esta recta son funciones lineales del parámetro.

En un segmento de línea recta, la función es una función compleja del parámetro, porque . Además, una vez es diferenciable con respecto a y la fórmula de Taylor (32) es válida para, donde , es decir

Los diferenciales en la fórmula (32) son diferenciales de una función compleja, donde , , , es decir

Sustituyendo (33) en (32) y teniendo en cuenta que , obtenemos

El último término en (34) se llama término restante de la fórmula de Taylor en forma de Lagrange

Sin prueba, observamos que si, bajo las condiciones del teorema, la función es derivable en el punto metro veces, entonces el término restante se puede escribir como forma peano:

Capítulo 7. Funciones de varias variables

7.1. Espacio Rn. Conjuntos en el espacio lineal.

Un conjunto cuyos elementos son todos los posibles conjuntos ordenados de norte números reales, denotados y llamados espacio aritmético n-dimensional, y el número norte llamado dimensión del espacio. Un elemento de un conjunto se llama un punto en el espacio, o un vector, y los numeros coordenadas este punto. Punto =(0, 0,…0) se llama cero u origen.

El espacio es un conjunto de números reales, es decir – recta numérica; y – son un plano geométrico de coordenadas bidimensional y un espacio geométrico de coordenadas tridimensional, respectivamente. Los vectores , , …, se llaman base unitaria.

Para dos elementos, un conjunto, se definen los conceptos de suma de elementos y producto de un elemento por un número real:

Es obvio que, debido a esta definición y a las propiedades de los números reales, las igualdades son verdaderas:

Según estas propiedades, el espacio también se llama lineal (vectorial) espacio.

En el espacio lineal se define producto escalar elementos y como número real, calculado según la siguiente regla:

el numero se llama longitud del vector o la norma. Los vectores se llaman ortogonal, Si . Magnitud

, )= │ - │ =

llamado distancia entre elementos Y .

Si y son vectores distintos de cero, entonces ángulo entre ellos se llama ángulo tal que

Es fácil verificar que para cualquier elemento y un número real, se satisface el producto escalar:

Un espacio lineal con un producto escalar definido en él por la fórmula (1) se llama Espacio euclidiano.

Deja el punto y . El conjunto de todos los puntos para los cuales se cumplen las desigualdades.

llamado norte -cubo de medir con una arista y centro en el punto . Por ejemplo, un cubo bidimensional es un cuadrado con un lado centrado en el punto.

El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad se llama bola n-dimensional radio centrado en el punto, que también se llama

- barrio del punto en y denota ,

Por tanto, una bola unidimensional es un intervalo de longitud. bola 2D

hay un círculo para el cual se cumple la desigualdad

Definición 1. El conjunto se llama limitado, si existe
norte- una bola dimensional que contiene este conjunto.

Definición 2. Una función definida sobre el conjunto de los números naturales y que toma valores pertenecientes a se llama secuencia en el espacio y se denota por dónde.

Definición 3. El punto se llama límite de la secuencia, si para un número positivo arbitrario existe un número natural tal que la desigualdad se cumple para cualquier número.

Simbólicamente, esta definición se escribe de la siguiente manera:

Designación:

De la Definición 3 se deduce que, para . Esta secuencia se llama convergente A .

Si una secuencia no converge a ningún punto, entonces se llama divergente.

Teorema 1. Para que la secuencia converja a un punto, es necesario y suficiente que para cualquier número , es decir secuenciar i- coordenadas x de los puntos convergidos a i-ésima coordenada del punto.

□ La prueba se sigue de las desigualdades.

La secuencia se llama limitado, si el conjunto de sus valores es limitado, es decir

Como una secuencia numérica, una secuencia convergente de puntos está acotada y tiene un límite único.

Definición 4. La secuencia se llama fundamental(secuencia de cauchy), si para cualquier número positivo es posible especificar un número natural tal que para números naturales arbitrarios y , grande , se cumpla, es decir

Teorema 2(Criterio de Cauchy). Para que una sucesión sea convergente es necesario y suficiente que sea fundamental.

□ Necesidad. Deja que converja al punto. Luego obtenemos una secuencia que converge a . . . , ..., X se llama región V. Si X - región, entonces su cierre se llama.

zona cerrada Conjuntos incógnita Y Y llamado separable

, si ninguno de ellos contiene puntos de contacto del otro. Muchos incógnita llamado relacionado

, si ninguno de ellos contiene puntos de contacto del otro. Muchos, si no se puede representar como una unión de dos conjuntos separables. llamado , convexo

si dos de sus puntos pueden conectarse mediante un segmento que pertenezca íntegramente a este conjunto.. Ejemplo

Con base en las definiciones formuladas anteriormente, se puede argumentar que

– un conjunto conexo, linealmente conexo, abierto, no convexo, es una región.

– conjunto conectado, linealmente conectado, no abierto, no convexo, no una región.

– conjunto no conectado, no linealmente conectado, abierto, no convexo, no una región.

– desconectado, no conectado linealmente, conjunto abierto, no una región.

Definamos la función z - /(x, y) en algún dominio D en el plano xOy. Tomemos un punto interno (x, y) del área D y démosle a x un incremento Ax tal que el punto (x + Ax, y) 6 D (Fig. 9). Llamemos a la cantidad el incremento parcial de la función z con respecto a x. Hagamos una relación: Para un punto dado (x, y), esta relación es función de Definición. Si para Ax -* 0 la relación ^ tiene un límite finito, entonces este límite se llama derivada parcial de la función z = /(x, y) con respecto a la variable independiente x en el punto (x, y) y es denotado por el símbolo jfc (o /i(x, jj ), o z"x(x, de la misma manera, por definición, o, que es lo mismo, de manera similar, si u es una función de n variables independientes, luego, al observar que Arz se calcula con un valor constante de la variable y, y Atz, con un valor constante de la variable x, las definiciones de derivadas parciales se pueden formular de la siguiente manera: Derivadas parciales Significado geométrico de las derivadas parciales de una función de dos variables Diferenciabilidad de una función de varias variables Condiciones necesarias para la diferenciabilidad de una función Condiciones suficientes para la diferenciabilidad de funciones de varias variables Diferencial total Diferenciales parciales Derivadas de una función compleja de la derivada parcial con respecto a x de la función z = /(x , y. ) es la derivada ordinaria de esta función con respecto a x, calculada bajo el supuesto de que y es una constante con respecto a y de la función z - /(x, y) es su derivada con respecto a; y, calculado bajo el supuesto de que x es una constante. De ello se deduce que las reglas para calcular las derivadas parciales coinciden con las reglas probadas para una función de una variable. Ejemplo. Encuentra las derivadas parciales de la función 4 Tenemos Sustituciones*. La existencia de la función r = f(x, y) en un punto dado de derivadas parciales con respecto a todos los argumentos no implica la continuidad de la función en este punto. Por tanto, la función no es continua en el punto 0(0,0). Sin embargo, en este punto la función especificada tiene derivadas parciales con respecto a x e y. Esto se desprende del hecho de que /(x, 0) = 0 y /(0, y) = 0 y, por tanto, del significado geométrico de las derivadas parciales de una función de dos variables. Dejemos que la superficie S en el espacio tridimensional esté definida por la ecuación donde f(x, y) es la función continua en algún dominio D y que tiene derivadas parciales con respecto a x e y. Averigüemos el significado geométrico de estas derivadas en el punto Mo(xo,yo) 6 D, que corresponde al punto f(x0)yo) de la superficie z = f(x)y). Al encontrar la derivada parcial del punto M0, asumimos que z es solo una función del argumento x, mientras que el argumento y conserva un valor constante y = y0, es decir, la función fi(x) está representada geométricamente por la curva L a lo largo cual la superficie S es intersectada por el plano y = en o. Por el significado geométrico de la derivada de una función de una variable, f\(xo) = tan a, donde a es el ángulo que forma la tangente a la recta L en el punto JV0 con el eje Ox (Fig. 10) . Pero entonces, la derivada parcial ($|) es igual a la tangente del ángulo a entre el eje Ox y la tangente en el punto N0 a la curva obtenida en la sección de la superficie z = /(x, y) por el y plano. De manera similar, obtenemos que §6. Diferenciabilidad de una función de varias variables Definamos la función z = /(x, y) en algún dominio D en el plano xOy. Tomemos un punto (x, y) € D y demos a los valores seleccionados de xey cualquier incremento Ax y Dy, pero tal que el punto. Definición. Una función r = /(x, y) se llama diferenciable * punto (x, y) € 2E si el incremento completo de esta función, correspondiente a los incrementos de los argumentos Dx, Dy, se puede representar en la forma donde A y B no dependen de Dx y Dy (pero generalmente dependen de x e y), y a(Dx, Dy) y /?(Dx, Dy) tienden a cero cuando Dx y Dy tienden a cero. . Si la función z = /(x, y) es derivable en el punto (x, y), entonces la parte A Dx 4- VDy del incremento de la función, lineal con respecto a Dx y Dy, se llama diferencial total de esta función en el punto (x, y) y se denota con el símbolo dz: De esta forma, Ejemplo. Sea r = x2 + y2. En cualquier punto (r,y) y para cualquier Dx y Du tenemos Aquí. ahora que a y /3 tienden a cero cuando Dx y Dy tienden a cero. Según la definición, esta función es diferenciable en cualquier punto del plano xOy. Al mismo tiempo, observamos que en nuestro razonamiento no excluimos formalmente el caso en el que los incrementos de Dx, Du por separado o incluso ambos son iguales a cero a la vez. Sea la función z = /(x, y) derivable en el punto (x, y). Entonces el incremento Dg de esta función, correspondiente a los incrementos Dx, Ay de los argumentos, se puede representar en la forma (1). Tomando en igualdad (1) Dx Φ 0, Dy = 0, obtenemos de donde Dado que en el lado derecho de la última igualdad el valor A no depende, Esto significa que en el punto (x, y) hay una derivada parcial de la función r = /(x, y) en x, y por razonamiento similar estamos convencidos (x, existe una derivada parcial de la función zy, y del teorema se deduce que Destacamos que el Teorema 5 establece la existencia de derivadas parciales sólo en el punto (x, y), pero no dice nada sobre su continuidad en este punto, así como su comportamiento en la vecindad del punto (x, y) (x) en el punto x0. En el caso de que la función dependa de varias variables, la situación es mucho más complicada: no existen condiciones necesarias y suficientes para la diferenciabilidad de la función z = /(x, y) de dos variables independientes x, y sólo las hay por separado; condiciones necesarias (ver arriba) y por separado - suficiente. Estas condiciones suficientes para la diferenciabilidad de funciones de varias variables se expresan mediante el siguiente teorema. Teorema c. Si una función tiene derivadas parciales /ε y f"v en alguna vecindad de delgada (xo, V0) y si estas derivadas son continuas en el punto (xo, V0), entonces la función z = f(x, y) es derivable en el punto (x- Ejemplo. Consideremos la función Derivadas parciales Significado geométrico de las derivadas parciales de una función de dos variables Diferenciabilidad de una función de varias variables Condiciones suficientes para la diferenciabilidad de funciones de varias variables Diferencial total Derivadas de una función compleja It se define en todas partes Basado en la definición de derivadas parciales, tenemos Para oschdrlm* diferenciable ™ de esta función en el punto 0(0,0) encontramos y el incremento de este punto Para la diferenciabilidad de la función /(x,y. ) = en el punto 0(0,0) es necesario que la función e(Dx, Dy) sea completamente pequeña en Dx 0 y Ду 0. Establezcamos D0 Entonces de la fórmula (1) tenemos por lo tanto la función f. (x,y) = no es diferenciable en el punto 0(0,0), aunque tiene fa y f"r en este punto. El resultado obtenido se explica por el hecho de que las derivadas f"z y f"t son discontinuo en el punto §7. Diferencial completo. Diferenciales parciales Si la función z - f(z> y) es diferenciable, entonces su diferencial total dz es igual a Notando que A = B = u, escribimos la fórmula (1) de la siguiente forma Ampliamos el concepto de diferencial. de una función a variables independientes, igualando los diferenciales de las variables independientes a sus incrementos: Después de esto, se toma como ejemplo la fórmula para el diferencial total de la función. Sea i - 1l(x + y2). Entonces de manera similar, si u =) es una función diferenciable de n variables independientes, entonces la expresión se llama post diferencial de la función z = f(x, y) con respecto a la variable x; la expresión se llama diferencial parcial de la función z = /(x, y) de la variable y. De las fórmulas (3), (4) y (5) se deduce que el diferencial total de una función es la suma de sus diferenciales parciales: Tenga en cuenta que el incremento total Az de la función z = /(x, y), en términos generales , no es igual a la suma de los incrementos parciales. Si en el punto (i, y) la función z = /(x, y) es diferenciable y el diferencial dz Φ 0 en ese punto, entonces su incremento total difiere de su parte lineal sólo por la suma de los últimos términos aAx 4 - /?DE, que en Ax 0 y Ау -» О son infinitesimales de orden superior a los términos de la parte lineal. Por tanto, cuando dz Ф 0, la parte lineal del incremento de la función diferenciable se denomina parte principal del incremento de la función y se utiliza una fórmula aproximada, que será más precisa cuanto menores en valor absoluto sean los incrementos de los argumentos son. §8. Derivadas de una función compleja 1. Sea la función definida en algún dominio D en el plano xOy, y cada una de las variables x, y a su vez es una función del argumento t: Supondremos que cuando t cambia en el intervalo ( los puntos correspondientes (x, y) no salen de la región D. Si sustituimos valores en la función z = / (x, y), obtenemos una función compleja de una variable t y para los valores apropiados la la función / (x, y) es diferenciable, entonces la función compleja tiene una derivada en el punto t M. Démosle a t un incremento Dt. Entonces xey recibirán algunos incrementos Ax y Dy. (J)2 + (Dy)2 Ф 0, la función z también recibirá algún incremento Dt, que, debido a la diferenciabilidad de la función z = /(x , y) en el punto (x, y). representarse de la forma donde a) tienden a cero cuando Ax y Du tienden a cero. Definamos a y /3 para Ax = Ay = 0 estableciendo a Entonces a(será continua para J = Dn = 0. Considere la relación que tenemos en cada término^ en el lado derecho de (2) ambos factores tienen límites en efecto, las derivadas parciales y ^ para un dado son constantes, por condición hay límites a la existencia de derivadas ^ y en el punto £ las funciones x = y(t) e y = son continuas en este punto, por lo tanto, como At; 0, tanto J como Dy tienden a cero, lo que a su vez implica una tendencia a cero a(Dx, Dy) y P(Ax, Ay). Por lo tanto, el lado derecho de la igualdad (2) en 0 tiene un límite. igual a. Por lo tanto, en 0 también hay un límite del lado izquierdo de (2), es decir e. hay uno igual. Pasando en igualdad (2) al límite como At -» 0, obtenemos la fórmula requerida. En el caso especial, cuando, por tanto, z es una función compleja de x, obtenemos la fórmula In. (5) existe una derivada parcial funadiig = /(x , y) por x, al calcular cuál en la expresión /(x, y) el argumento y se toma como constante. Y existe una derivada completa de la función z con respecto a la variable independiente x, al calcular cual y en la expresión /(x, y) ya no se toma como una constante, sino que se considera a su vez una función de x: y = tp(x)t y por lo tanto la dependencia de z se tiene en cuenta completamente. Ejemplo. Encuentre y jg si 2. Consideremos ahora la derivación de una función compleja de varias variables. Sea donde a su vez para que Supongamos que en el punto (() existen derivadas parciales continuas u, 3? y en el punto correspondiente (x, y), donde la Función f(x, y) es diferenciable. Demostremos que bajo estas condiciones la función compleja z = z(() y) en el punto t7) tiene derivadas y π, y encontraremos expresiones para estas derivadas. Nótese que este caso no difiere significativamente del ya estudiado. De hecho, al diferenciar z con respecto a £, la segunda variable independiente rj se toma como constante, como resultado de lo cual xey en esta operación se convierten en funciones de una variable x" = c), y = c) y la pregunta de la derivada ζ se resuelve exactamente de la misma manera que la cuestión de la derivada al derivar la fórmula (3) Usando la fórmula (3) y reemplazando formalmente las derivadas § y ^ con las derivadas u y, respectivamente, obtenemos De manera similar, encontramos Ejemplo. Encuentre las derivadas parciales ^ y ^ de la función r = x2 y - x - y = Si una función compleja “ está dada por fórmulas de modo que entonces, cuando se cumplan las condiciones apropiadas, tengamos En el caso especial cuando Y = donde Derivadas parciales Significado geométrico de las derivadas parciales de una función de dos variables Diferenciabilidad de una función de varias variables Condiciones necesarias para la diferenciabilidad de una función Condiciones suficientes para la diferenciabilidad de funciones de varias variables Diferencial total Derivadas de una función compleja nosotros. tener Aquí m es la derivada parcial total de la función y con respecto a la variable independiente x, teniendo en cuenta la dependencia completa de y sobre x, incluso a través de z = z(x,y),a ^ -derivada parcial de la función u = /(r, y, d) por x, al calcular k

– conexo, linealmente conexo, conjunto abierto, es una región.Teorema. tu = f (x, y) está dado en el dominio D y sea x = x(t) incógnita y = y(t) identificado en la zona , y cuando , entonces x e y pertenecen a la región D. Sea la función u diferenciable en el punto M 0 (incógnita 0 ,y 0 ,z 0)y funciones x(t) y en(t) diferenciable en el punto correspondiente t 0 , entonces la función compleja u = f[incógnita(t),y(t)]=F (t)diferenciable en el punto t 0 y la igualdad se cumple:

.

Prueba. Dado que u es diferenciable por condición en el punto ( incógnita 0 , y 0), entonces su incremento total se representa como

Dividiendo esta relación por , obtenemos:

Vayamos al límite y obtengamos la fórmula.

.

Nota 1. Si tu= tu(x,y) Y incógnita= incógnita, y= y(incógnita), entonces la derivada total de la función tu por variable incógnita

o .

La última igualdad se puede utilizar para probar la regla para derivar una función de una variable, dada implícitamente en la forma F(incógnita, y) = 0, donde y= y(incógnita) (ver tema No. 3 y ejemplo 14).

Tenemos: . Desde aquí . (6.1)

Volvamos al ejemplo 14 del tema No. 3:

;

.

Como puede ver, las respuestas coincidieron.

Nota 2. Dejar tu = F (x,y), Dónde incógnita= incógnita(t ,v), en= en(t ,v). Entonces u es, en última instancia, una función compleja de dos variables. t Y v. Si ahora la función u es derivable en el punto METRO 0 (incógnita 0 , y 0), y las funciones incógnita incógnita en son diferenciables en el punto correspondiente ( t 0 , v 0), entonces podemos hablar de derivadas parciales con respecto a t Y v de una función compleja en el punto ( t 0 , v 0). Pero si hablamos de la derivada parcial con respecto a t en un punto específico, entonces la segunda variable v se considera constante e igual a v 0. En consecuencia, estamos hablando de la derivada únicamente de una función compleja con respecto a t y, por tanto, podemos utilizar la fórmula derivada. Así, conseguimos.