ฟังก์ชันการซ้อนทับที่ซับซ้อน ดูว่า "การซ้อนทับของฟังก์ชัน" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร

ในชุมชนวิทยาศาสตร์ เรื่องตลกที่เป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายในหัวข้อนี้คือ "ความไม่เชิงเส้น" เปรียบเทียบกับ "ไม่ใช่ช้าง" - สิ่งมีชีวิตทั้งหมดที่ไม่ใช่ "ช้าง" ถือเป็น "ไม่ใช่ช้าง" ความคล้ายคลึงกันก็คือระบบและปรากฏการณ์ส่วนใหญ่ในโลกรอบตัวเรานั้นไม่เชิงเส้น โดยมีข้อยกเว้นบางประการ ตรงกันข้าม ในโรงเรียนเราถูกสอนให้คิดแบบ "เชิงเส้น" ซึ่งถือว่าแย่มากในแง่ของความพร้อมในการรับรู้ความไม่เชิงเส้นที่แพร่หลายของจักรวาล ไม่ว่าจะเป็นด้านกายภาพ ชีววิทยา จิตวิทยา หรือสังคม ความไม่เชิงเส้นมุ่งความสนใจไปที่ปัญหาหลักอย่างหนึ่งในการรับรู้โลกรอบข้างในตัวเอง เนื่องจากผลกระทบในมวลรวมนั้นไม่ได้สัดส่วนกับสาเหตุ สาเหตุสองประการเมื่อโต้ตอบกันนั้นไม่ได้เป็นการบวก กล่าวคือ ผลกระทบมีความซับซ้อนมากกว่า การซ้อนทับอย่างง่าย หน้าที่ของสาเหตุ นั่นคือ ผลที่เกิดจากการมีอยู่และอิทธิพลของสาเหตุสองประการที่กระทำพร้อม ๆ กัน ไม่ใช่ผลรวมของผลลัพธ์ที่ได้รับเมื่อมีแต่ละสาเหตุแยกกัน ในกรณีที่ไม่มีสาเหตุอื่น  

คำจำกัดความ 9. หากในช่วงเวลาหนึ่ง X มีการกำหนดฟังก์ชัน z-φ(lz) พร้อมชุดของค่า Z และฟังก์ชัน y =/(z) ถูกกำหนดไว้บนชุด Z ดังนั้นฟังก์ชัน y คือ ฟังก์ชันที่ซับซ้อนของ x (หรือการซ้อนทับของฟังก์ชัน) และตัวแปร z - ตัวแปรกลางของฟังก์ชันที่ซับซ้อน  

การควบคุมสามารถแสดงเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันการจัดการแบบคลาสสิกสามฟังก์ชัน ได้แก่ การบัญชี การควบคุม และการวิเคราะห์ (ย้อนหลัง) การควบคุมในฐานะฟังก์ชันการจัดการแบบรวมทำให้ไม่เพียงแต่สามารถเตรียมการตัดสินใจเท่านั้น แต่ยังช่วยให้มั่นใจในการควบคุมการดำเนินการโดยใช้เครื่องมือการจัดการที่เหมาะสมอีกด้วย  

ดังที่ทราบกันดีว่า /50/ ฟังก์ชันเวลาใดๆ สามารถแสดงเป็นการซ้อน (เซต) ของฟังก์ชันฮาร์มอนิกอย่างง่ายที่มีคาบ แอมพลิจูด และเฟสต่างกัน โดยทั่วไป P(t) = f(t)  

คุณลักษณะชั่วคราวหรือแรงกระตุ้นถูกกำหนดโดยการทดลอง เมื่อใช้วิธีการซ้อนทับ โมเดลที่เลือกของการกระทำอินพุตจะถูกแยกย่อยเป็น "ฟังก์ชันเวลา" ระดับประถมศึกษา จากนั้นจึงสรุปการตอบสนองต่อการดำเนินการเหล่านั้น การดำเนินการหลังบางครั้งเรียกว่าการบิด และอินทิกรัลในนิพจน์ (24) ... (29) เป็นอินทิกรัลแบบบิด จาก พวกเขาเลือกอันที่มีอินทิกรัลง่ายกว่า  

ทฤษฎีบทนี้ลดปัญหาสุดขั้วแบบมีเงื่อนไขให้เหลือเพียงการซ้อนทับของปัญหาสุดขีดแบบไม่มีเงื่อนไข จริงๆ แล้ว ให้เรานิยามฟังก์ชัน R (g)  

การซ้อนทับ ((>(f(x)) โดยที่ y(y) คือฟังก์ชันนูนที่ไม่ลดลงของตัวแปรหนึ่งตัว /(x) คือฟังก์ชันนูน คือฟังก์ชันนูน  

ตัวอย่างที่ 3.28 กลับไปที่ตัวอย่างที่ 3.27 ในรูป รูปที่ 3.24 แสดงผลลัพธ์ของการซ้อนทับของฟังก์ชันสมาชิกสองตัวที่สอดคล้องกับปริมาณที่มีอยู่ในตัวอย่างนี้ในรูปแบบของเส้นโค้งประประ เมื่อใช้ระดับจุดตัดที่ 0.7 จะได้ช่วงฟัซซี่บนแกน x ตอนนี้เราสามารถพูดได้ว่าผู้มอบหมายงานควรคาดหวังการเปลี่ยนแปลงแผน  

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดฟังก์ชัน F แตกต่างจากวิธีการซ้อนทับ คือ เมื่อตัวระบุปริมาณใดๆ ถูกนำไปใช้กับตัวระบุปริมาณอื่น การเปลี่ยนแปลงแบบโมโนโทนิกบางอย่างของฟังก์ชันสมาชิกดั้งเดิมจะเกิดขึ้น ซึ่งเกิดจากการยืดและเลื่อนค่าสูงสุดของฟังก์ชันในฟังก์ชันเดียว ทิศทางหรืออย่างอื่น  

ตัวอย่างที่ 3.29 ในรูป รูปที่ 3.25 แสดงผลลัพธ์สองรายการที่ได้รับโดยใช้การซ้อนทับและการเลื่อนแบบยืด สำหรับกรณีที่ XA และ X สอดคล้องกับปริมาณบ่อยครั้ง ความแตกต่างดูเหมือนว่าการซ้อนทับจะแยกค่าเหล่านั้นที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งในฟังก์ชันการเป็นสมาชิก ในกรณีของการเลื่อนและยืด เราสามารถตีความผลลัพธ์ได้ว่าเป็นการปรากฏของตัวปริมาณใหม่ที่มีค่าบ่อยครั้ง ซึ่งสามารถประมาณตามค่าได้บ่อยครั้งมาก หากต้องการ  

แสดงว่าการซ้อนทับของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการตั้งค่า > ยังเป็นฟังก์ชันอรรถประโยชน์ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของการตั้งค่านั้นด้วย ฟังก์ชันใดต่อไปนี้สามารถทำหน้าที่ในการแปลงเช่นนั้นได้  

ความสัมพันธ์ลำดับแรก (2) ไม่มีอะไรมากไปกว่าบันทึกของกฎซึ่งแต่ละฟังก์ชัน F(x) ที่อยู่ในตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างแน่นอนที่ไม่ลดลงอย่างน่าเบื่อจะสัมพันธ์กับฟังก์ชันต่อเนื่องเพียงฟังก์ชันเดียว w(j) กฎนี้เป็นเส้นตรงเช่น หลักการของการซ้อนทับนั้นเป็นจริงสำหรับเขา  

การพิสูจน์. หากการแมป F มีความต่อเนื่อง ฟังก์ชัน M0 จะต่อเนื่องกันโดยเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันต่อเนื่อง เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สองของข้อความ ให้พิจารณาฟังก์ชัน  

ฟังก์ชันที่ซับซ้อน (การซ้อนทับ)  

วิธีการแปลงฟังก์ชันยังเกี่ยวข้องกับการใช้แนวทางการศึกษาสำนึกด้วย ตัวอย่างเช่น การใช้การแปลงลอการิทึมเป็นตัวดำเนินการ B และ C นำไปสู่เกณฑ์ข้อมูลสำหรับการสร้างแบบจำลองที่สามารถระบุตัวตนได้ และการใช้เครื่องมืออันทรงพลังของทฤษฎีสารสนเทศ ให้ตัวดำเนินการ B แทนการซ้อนทับของตัวดำเนินการคูณด้วยฟังก์ชัน (.) และเลื่อนด้วยฟังก์ชัน K0() ตัวดำเนินการ C คือตัวดำเนินการ  

ที่นี่เราจะสรุปผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาเชิงแปรผันจำนวนหนึ่ง (1)-(3) พวกเขาได้รับการแก้ไขโดยวิธีการเรียงลำดับเชิงเส้น (19-21) ย้อนกลับไปในปี 1962-1963 เมื่อเทคโนโลยีของวิธีนี้เพิ่งเริ่มเป็นรูปเป็นร่างและกำลังได้รับการทดสอบ ดังนั้นเราจะเน้นเพียงรายละเอียดบางส่วนเท่านั้น ก่อนอื่น เราทราบว่าฟังก์ชัน C และ C2 ได้รับการระบุด้วยนิพจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งเป็นการซ้อนทับของฟังก์ชันเสริม รวมถึงฟังก์ชันที่ระบุในตารางด้วย ดังนั้นเมื่อแก้ระบบคอนจูเกต φ = -fx โดยใช้ฟังก์ชันที่ระบุในตาราง โดยทั่วไปแล้วตารางดังกล่าวจะมีค่าจำนวนเล็กน้อยสำหรับชุดโหนดในช่วงของการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์อิสระและระหว่างนั้นฟังก์ชันจะถูกประมาณค่าเชิงเส้นเนื่องจากการใช้วิธีการแก้ไขที่แม่นยำยิ่งขึ้นนั้นไม่สมเหตุสมผลเนื่องจาก ความไม่ถูกต้องของค่าตารางเอง (ตามกฎแล้วตารางจะระบุการพึ่งพาการทำงานของลักษณะการทดลอง) อย่างไรก็ตาม เพื่อจุดประสงค์ของเรา เราต้องการฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ /(x, u) ดังนั้นเราจึงควรเลือกใช้วิธีที่ราบรื่นในการเติมตารางให้สมบูรณ์ ฟังก์ชันที่กำหนด(เช่น การใช้เส้นโค้ง)  

ให้ตอนนี้ (DA และ (q) เป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจที่สอดคล้องกับค่าบางค่าของตัวระบุความถี่ รูปที่ 3.23 แสดงเส้นโค้ง 1 humped สองเส้นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันเหล่านี้ ผลลัพธ์ของการซ้อนทับของพวกมันคือเส้นโค้ง 2 humped แสดงโดย เส้นประ ความหมายของมันคืออะไรถ้าเช่น (ใช่มีน้อยมากและ (d - บ่อยครั้ง  

ข้อดีของวิธีการหา F นี้คือในระหว่างการแปลงแบบโมโนโทนิก รูปแบบของฟังก์ชันสมาชิกจะไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมาก ความเป็นเอกภาพหรือความซ้ำซ้อนของมันยังคงอยู่ และการเปลี่ยนจากฟังก์ชันประเภทใหม่ (2.16) มีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู จากนั้นการซ้อนทับเชิงเส้น (2.15) จะเป็นจำนวนฟัซซี่สี่เหลี่ยมคางหมู (ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายเมื่อใช้กฎการคำนวณเซ็กเมนต์) และเราสามารถลดการดำเนินการที่มีฟังก์ชันสมาชิกเป็นการดำเนินการที่มีจุดยอดได้ หากเราแสดงตัวเลขสี่เหลี่ยมคางหมู (2.16) เป็น (ab a2, az, a4) โดยที่ a สอดคล้องกับ abscissa ของจุดยอดของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว  

สร้างฟังก์ชัน

เราขอเสนอบริการสร้างกราฟของฟังก์ชันออนไลน์แก่คุณ ซึ่งสิทธิ์ทั้งหมดที่เป็นของบริษัท เดสมอส- ใช้คอลัมน์ด้านซ้ายเพื่อเข้าสู่ฟังก์ชัน คุณสามารถป้อนด้วยตนเองหรือใช้แป้นพิมพ์เสมือนที่ด้านล่างของหน้าต่าง หากต้องการขยายหน้าต่างด้วยกราฟ คุณสามารถซ่อนทั้งคอลัมน์ด้านซ้ายและแป้นพิมพ์เสมือนได้

ประโยชน์ของการสร้างแผนภูมิออนไลน์

• การแสดงฟังก์ชั่นที่ป้อนด้วยสายตา
• การสร้างกราฟที่ซับซ้อนมาก
• การสร้างกราฟที่ระบุโดยปริยาย (เช่น วงรี x^2/9+y^2/16=1)
• ความสามารถในการบันทึกแผนภูมิและรับลิงก์ไปยังแผนภูมิเหล่านั้นซึ่งทุกคนบนอินเทอร์เน็ตสามารถใช้ได้
• การควบคุมมาตราส่วน, สีของเส้น
• ความเป็นไปได้ของการวาดกราฟตามจุดโดยใช้ค่าคงที่
• การพล็อตกราฟฟังก์ชันหลายกราฟพร้อมกัน
• การลงจุดในพิกัดเชิงขั้ว (ใช้ r และ θ(\theta))

กับเราการสร้างแผนภูมิที่มีความซับซ้อนหลากหลายทางออนไลน์เป็นเรื่องง่าย การก่อสร้างเสร็จสิ้นทันที บริการนี้เป็นที่ต้องการสำหรับการค้นหาจุดตัดกันของฟังก์ชันเพื่อแสดงกราฟสำหรับการเคลื่อนที่ต่อไป เอกสารเวิร์ดเพื่อเป็นภาพประกอบในการแก้ปัญหาเพื่อวิเคราะห์คุณลักษณะเชิงพฤติกรรมของกราฟฟังก์ชัน เบราว์เซอร์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการทำงานกับแผนภูมิในหน้านี้ของเว็บไซต์คือ กูเกิลโครม- ไม่รับประกันการทำงานที่ถูกต้องเมื่อใช้เบราว์เซอร์อื่น

คำจำกัดความของฟังก์ชัน ขอบเขต และชุดค่า คำจำกัดความที่เกี่ยวข้องกับสัญกรณ์ฟังก์ชัน คำจำกัดความของฟังก์ชันเชิงซ้อน ตัวเลข จำนวนจริง โมโนโทนิก และฟังก์ชันหลายค่า คำจำกัดความของขอบเขตสูงสุด ต่ำสุด บน และล่างสำหรับฟังก์ชันที่มีขอบเขต

การทำงานย = ฉ (เอ็กซ์)เรียกว่ากฎ (กฎ การแม็ป) โดยที่แต่ละองค์ประกอบ x ของเซต X จะเชื่อมโยงกับองค์ประกอบ y เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นของเซต Y

เซต X เรียกว่า โดเมนของฟังก์ชัน.
เซตขององค์ประกอบ y ∈ ยซึ่งมีภาพล่วงหน้าในชุด X เรียกว่า ชุดของค่าฟังก์ชัน(หรือ ช่วงของค่า).

โดเมนของคำจำกัดความบางครั้งเรียกว่าฟังก์ชัน ชุดคำจำกัดความหรือ งานมากมายฟังก์ชั่น

องค์ประกอบ x ∈ เอ็กซ์เรียกว่า อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันหรือ ตัวแปรอิสระ.
องค์ประกอบ ย ∈ ยเรียกว่า ค่าฟังก์ชันหรือ ตัวแปรตาม.

การแม็พ f นั้นเรียกว่า ลักษณะของฟังก์ชัน.

คุณลักษณะ f มีคุณสมบัติว่าถ้าสององค์ประกอบและจากชุดคำจำกัดความมีค่าเท่ากัน: แล้ว

สัญลักษณ์ที่แสดงถึงคุณลักษณะอาจเหมือนกับสัญลักษณ์ขององค์ประกอบค่าฟังก์ชัน นั่นคือคุณสามารถเขียนได้ดังนี้: .

ควรจำไว้ว่า y เป็นองค์ประกอบจากชุดของค่าฟังก์ชัน และเป็นกฎที่องค์ประกอบ x เชื่อมโยงกับองค์ประกอบ y

กระบวนการคำนวณฟังก์ชันนั้นประกอบด้วยสามขั้นตอน ในขั้นตอนแรก เราเลือกองค์ประกอบ x จากเซต Xจากนั้น เมื่อใช้กฎ องค์ประกอบ x จะสัมพันธ์กับองค์ประกอบของเซต Y

ในขั้นตอนที่ 3 องค์ประกอบนี้ถูกกำหนดให้กับตัวแปร yค่าส่วนตัวของฟังก์ชัน

เรียกค่าของฟังก์ชันที่ได้รับค่าที่เลือก (เฉพาะ) ของอาร์กิวเมนต์

กราฟของฟังก์ชันฉ
เรียกว่าเป็นชุดคู่ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน: .

คำนิยาม ปล่อยให้ฟังก์ชั่นและได้รับนอกจากนี้โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน f ยังมีชุดของค่าของฟังก์ชัน g

จากนั้นแต่ละองค์ประกอบ t จากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน g จะสอดคล้องกับองค์ประกอบ x และ x นี้สอดคล้องกับ y จดหมายนี้เรียกว่า- เมื่อพิจารณาค่าอาร์กิวเมนต์เดียวกัน ก็สามารถให้ค่าที่ต่างกันได้ สัญกรณ์นี้ไม่ได้รับการยอมรับในวิชาคณิตศาสตร์ หากจำเป็นต้องลดขนาดลง จะต้องนำคุณลักษณะใหม่มาใช้ ตัวอย่างเช่น . แล้วจะเห็นได้ชัดเจนว่าเป็นอย่างนั้นและเป็นอยู่ ฟังก์ชั่นที่แตกต่างกัน.

ฟังก์ชั่นที่ถูกต้อง

โดเมนของฟังก์ชันและชุดของค่าสามารถเป็นชุดใดก็ได้
ตัวอย่างเช่น ลำดับตัวเลขคือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ และเซตของค่าเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน
ผลคูณไขว้ก็เป็นฟังก์ชันเช่นกัน เนื่องจากสำหรับเวกเตอร์สองตัวและเวกเตอร์มีค่าเพียงค่าเดียวเท่านั้น
ในที่นี้ โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของคู่เวกเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเซตของค่าคือเซตของเวกเตอร์ทั้งหมด

นิพจน์บูลีน

เป็นฟังก์ชัน โดเมนคำจำกัดความคือชุดของจำนวนจริง (หรือชุดใดๆ ที่กำหนดการดำเนินการเปรียบเทียบกับองค์ประกอบ "0") ชุดค่าประกอบด้วยสององค์ประกอบ - "จริง" และ "เท็จ"ฟังก์ชันตัวเลขมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ฟังก์ชันตัวเลขเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชั่นจริงหรือจริง

เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริง

สูงสุดและต่ำสุด จำนวนจริงมีการดำเนินการเปรียบเทียบ ดังนั้นชุดของค่าของฟังก์ชันจริงจึงสามารถจำกัดได้และมีค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดฟังก์ชันจริงเรียกว่า
.

จำกัดจากด้านบน (จากด้านล่าง) หากมีตัวเลข M ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกันคงอยู่สำหรับทุกคน:ฟังก์ชันตัวเลขเรียกว่า
.

จำกัดถ้ามีตัวเลข M เช่นนั้นสำหรับทั้งหมด:
.

สูงสุด M (ขั้นต่ำ m)หรือ ฟังก์ชัน f ในบางเซ็ต X ค่าของฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้สำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์ ซึ่งสำหรับทั้งหมดขอบบน
ขอบเขตบนที่แน่นอน
.

ฟังก์ชันจริงที่ล้อมรอบด้านบนคือจำนวนที่น้อยที่สุดที่ขอบเขตช่วงของค่าจากด้านบน นั่นคือนี่คือตัวเลข s ซึ่งสำหรับทุกคนและสำหรับทุกคนมีข้อโต้แย้งที่มีค่าฟังก์ชันเกิน s′: .

ขอบเขตบนของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้:หรือ ขอบเขตบนของฟังก์ชันขอบเขตบนฟังก์ชันจริงที่ขอบเขตจากด้านล่างคือจำนวนที่มากที่สุดที่ขอบเขตช่วงของค่าจากด้านล่าง นั่นคือนี่คือตัวเลข i ซึ่งสำหรับทุกคนและทุกคนมีข้อโต้แย้งที่มีค่าฟังก์ชันน้อยกว่า i′:
ค่าต่ำสุดของฟังก์ชันสามารถแสดงได้ดังนี้:
.

ค่า infimum ของฟังก์ชันขอบเขตล่างคือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ดังนั้น ฟังก์ชันจริงใดๆ บนเซต X ที่ไม่ว่าง จะมีขอบเขตบนและล่าง แต่ไม่ใช่ว่าทุกฟังก์ชันจะมีค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดในช่วงเวลาเปิด
ในช่วงเวลานี้จากด้านบนจะมีค่าจำกัด 1 และต่ำกว่า - ค่า 0 :
สำหรับทุกคน
ฟังก์ชันนี้มีขอบเขตบนและล่าง:
.
แต่ไม่มีสูงสุดและต่ำสุด

หากเราพิจารณาฟังก์ชันเดียวกันบนเซกเมนต์ ในชุดนี้จะมีขอบเขตด้านบนและด้านล่าง มีขอบเขตบนและล่าง และมีขอบเขตสูงสุดและต่ำสุด:
สำหรับทุกคน;
;
.

ฟังก์ชันโมโนโทนิค

คำจำกัดความของฟังก์ชันเพิ่มและลด
ให้นิยามฟังก์ชันกับชุดของจำนวนจริง X บางชุด ฟังก์ชันนี้เรียกว่า
.
เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด (ลดลงอย่างเข้มงวด) ฟังก์ชันนี้เรียกว่าไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น)
.

หากทั้งหมดนี้มีความไม่เท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:
เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวด (ลดลงอย่างเข้มงวด) ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิกซ้ำซากจำเจ

ถ้ามันไม่ลดลงหรือไม่เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชันหลายค่า

ตัวอย่างของฟังก์ชันหลายค่า กิ่งก้านของมันถูกระบุด้วยสีที่ต่างกัน แต่ละสาขาเป็นฟังก์ชัน

ต่อไปนี้จากคำจำกัดความของฟังก์ชัน แต่ละองค์ประกอบ x จากโดเมนของคำจำกัดความจะเชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวจากชุดของค่า แต่มีการแมปที่องค์ประกอบ x มีหลายรูปภาพหรือจำนวนไม่สิ้นสุด เป็นตัวอย่าง ให้พิจารณาฟังก์ชันอาร์คซีน - มันคือค่าผกผันของฟังก์ชันไซนัส
(1) .
และหาได้จากสมการดังนี้

สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปรอิสระ x ซึ่งอยู่ในช่วง สมการนี้จะพอใจกับค่า y จำนวนไม่สิ้นสุด (ดูรูป)
(2) .
ให้เรากำหนดข้อจำกัดในการแก้สมการ (1) อนุญาต

ภายใต้เงื่อนไขนี้ ค่าที่กำหนดจะสอดคล้องกับคำตอบเดียวของสมการ (1) นั่นคือ ความสอดคล้องที่กำหนดโดยสมการ (1) ภายใต้เงื่อนไข (2) จะเป็นฟังก์ชัน
แทนที่จะเป็นเงื่อนไข (2) คุณสามารถกำหนดเงื่อนไขอื่น ๆ ของแบบฟอร์มได้: ,
(2.น) โดยที่ n คือจำนวนเต็ม เป็นผลให้สำหรับแต่ละค่าของ n เราจะได้ฟังก์ชันของเราเองซึ่งแตกต่างจากค่าอื่น ฟังก์ชั่นที่คล้ายกันหลายอย่างคือฟังก์ชันหลายค่า - และฟังก์ชันที่กำหนดจาก (1) ภายใต้เงื่อนไข (2.n) คือ.

นี่คือชุดของฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในชุดใดชุดหนึ่ง

สาขาฟังก์ชันหลายค่าเป็นหนึ่งในฟังก์ชันที่รวมอยู่ในฟังก์ชันหลายค่า

ฟังก์ชันค่าเดียวเป็นฟังก์ชัน

วรรณกรรมที่ใช้:
โอ.ไอ. เบซอฟ. บรรยายเรื่องการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ตอนที่ 1 มอสโก 2547
แอล.ดี. คุดรยาฟต์เซฟ. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2546
ซม. นิโคลสกี้. หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่มที่ 1 มอสโก 2526

ให้มีฟังก์ชัน f(x 1 , x 2 , ... , xn) และฟังก์ชัน

จากนั้นเราจะเรียกใช้ฟังก์ชัน การซ้อนทับของฟังก์ชันฉ(x 1 , x 2 , ... , xn) และฟังก์ชั่น .

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ให้ F = ( f j ) - ชุดของฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะ ไม่จำเป็นต้องมีขอบเขตจำกัด ฟังก์ชัน f เรียกว่าการซ้อนของฟังก์ชันจากเซต F หรือฟังก์ชันที่อยู่เหนือ F หากได้รับจากฟังก์ชันโดยการแทนที่ตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปด้วยฟังก์ชันจากเซต F

ตัวอย่าง.

ให้ชุดของฟังก์ชันได้รับ

ฉ = (ฉ 1 (x 1), ฉ 2 (x 1 , x 2 , x 3), ฉ 3 (x 1 , x 2))

จากนั้นการซ้อนทับของฟังก์ชันจาก F จะเป็นเช่นฟังก์ชัน:

เจ 1 (x 2 , x 3) = ฉ 3 (ฉ 1 (x 2), ฉ 1 (x 3));

เจ 2 (x 1 , x 2) = ฉ 2 (x 1 , ฉ 1 (x 1), ฉ 3 (x 1 , x 2))

Perfect DNF - การซ้อนทับของฟังก์ชันจากชุด

. ð

คำนิยาม.

เรียกว่าระบบการทำงาน เต็มถ้าใช้การดำเนินการของการซ้อนทับและการแทนที่ตัวแปร ฟังก์ชันใดๆ ของพีชคณิตของตรรกะสามารถหาได้จากฟังก์ชันของระบบนี้ ð

เรามีชุดระบบที่สมบูรณ์อยู่แล้ว:

;

เพราะ ;

เพราะ ;

(x+y, xy, 1) ð

เราจะทราบเงื่อนไขที่ระบบจะสมบูรณ์ได้อย่างไร? ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเรื่องความสมบูรณ์คือแนวคิดของคลาสปิด

ปิดชั้นเรียน.

เซต (คลาส) K ของฟังก์ชันของพีชคณิตของตรรกะเรียกว่า ชั้นเรียนปิดถ้ามีฟังก์ชันทั้งหมดที่ได้รับจาก K จากการดำเนินการของการซ้อนและการเปลี่ยนแปลงตัวแปร และไม่มีฟังก์ชันอื่นใด

ให้ K เป็นเซตย่อยของฟังก์ชันจาก P 2 การปิดของ K คือเซตของฟังก์ชันบูลีนทั้งหมดที่สามารถแสดงได้โดยใช้การดำเนินการของการซ้อนและการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันตัวแปรจากเซต K การปิดของเซต K จะแสดงด้วย [K]

ในแง่ของการปิด เราสามารถให้คำจำกัดความอื่นๆ ของการปิดและความสมบูรณ์ได้ (เทียบเท่ากับคำเดิม):

K เป็นคลาสปิด ถ้า K = [K];

K เป็นระบบที่สมบูรณ์ถ้า [K] = P 2

ตัวอย่าง.

* (0), (1) - ชั้นเรียนปิด

* ชุดฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งเป็นคลาสปิด

* - ปิดชั้นเรียน

* คลาส (1, x+y) ไม่ใช่คลาสปิด

มาดูคลาสปิดที่สำคัญที่สุดบางส่วนกัน

1. ที 0- คลาสของฟังก์ชันที่รักษา 0

ให้เราแสดงด้วย T 0 คลาสของฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะ f(x 1 , x 2 , ... , x n) รักษาค่าคงที่ 0 นั่นคือฟังก์ชันที่ f(0, ... , 0 ) = 0

ง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชันที่เป็นของ T 0 และฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

จากข้อเท็จจริงที่ว่า Ï T 0 ตามหลังมา เช่น ไม่สามารถแสดงผ่านการแยกส่วนและการร่วมได้

เนื่องจากตารางสำหรับฟังก์ชัน f จากคลาส T 0 มีค่า 0 ในบรรทัดแรกดังนั้นสำหรับฟังก์ชันจาก T 0 คุณสามารถตั้งค่าที่กำหนดเองได้เฉพาะกับค่าตัวแปร 2 n - 1 ชุดเท่านั้นนั่นคือ

,

โดยที่ชุดของฟังก์ชันที่รักษา 0 และขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัว

ให้เราแสดงว่า T 0 เป็นคลาสปิด เนื่องจาก xÎT 0 ดังนั้นเพื่อพิสูจน์ความปิดก็เพียงพอที่จะแสดงความปิดด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการซ้อนทับ เนื่องจากการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการซ้อนทับด้วยฟังก์ชัน x

อนุญาต . งั้นก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า อย่างหลังตามมาจากห่วงโซ่แห่งความเท่าเทียม

2. ที 1- คลาสของฟังก์ชันการรักษา 1

ให้เราแสดงด้วย T 1 คลาสของฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะ f(x 1, x 2, ... , x n) รักษาค่าคงที่ 1 นั่นคือฟังก์ชันที่ f(1, ... , 1 ) = 1.

ง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชันที่เป็นของ T 1 และฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

1, x, xy, xÚy, xoy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

จากข้อเท็จจริงที่ว่า x + y Ï T 0 เป็นไปตามนั้น เช่น x + y ไม่สามารถแสดงในรูปของการแตกแยกและการเชื่อม

ผลลัพธ์เกี่ยวกับคลาส T 0 จะถูกถ่ายโอนไปยังคลาส T 1 เล็กน้อย ดังนั้นเราจึงมี:

T 1 - คลาสปิด;

.

3.ล- คลาสของฟังก์ชันเชิงเส้น

ให้เราแสดงด้วย L คลาสของฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตของตรรกะ f(x 1 , x 2 , ... , xn) ที่เป็นเส้นตรง:

มันง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นที่เป็นของ L และฟังก์ชั่นที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

ให้เราพิสูจน์ตัวอย่างว่า xÚy Ï L .

สมมติว่าตรงกันข้าม เราจะค้นหานิพจน์สำหรับ xÚy ในรูปแบบของฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไม่ระบุ:

สำหรับ x = y = 0 เรามี a=0

สำหรับ x = 1, y = 0 เรามี b = 1

สำหรับ x = 0, y = 1 เรามี g = 1

แต่สำหรับ x = 1, y = 1 เรามี 1v 1 ¹ 1 + 1 ซึ่งพิสูจน์ความไม่เชิงเส้นของฟังก์ชัน xy

การพิสูจน์ความปิดของคลาสของฟังก์ชันเชิงเส้นนั้นค่อนข้างชัดเจน

เนื่องจากฟังก์ชันเชิงเส้นถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยการระบุค่า n+1 ของสัมประสิทธิ์ a 0 , ... , a n จำนวนฟังก์ชันเชิงเส้นในคลาส L (n) ของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปร n เท่ากับ 2 n+1 .

.

4. ส- คลาสของฟังก์ชันคู่ด้วยตนเอง

คำจำกัดความของคลาสของฟังก์ชันคู่ในตัวนั้นขึ้นอยู่กับการใช้สิ่งที่เรียกว่าหลักการความเป็นคู่และฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกันเรียกว่า คู่กับฟังก์ชัน .

แน่นอนว่าตารางสำหรับฟังก์ชันคู่ (ที่มีการเรียงลำดับมาตรฐานของชุดของค่าตัวแปร) ได้มาจากตารางสำหรับฟังก์ชันดั้งเดิมโดยการกลับค่าคอลัมน์ของค่าฟังก์ชัน (นั่นคือ แทนที่ 0 ด้วย 1 และ 1 ด้วย 0) และพลิกมัน

มันง่ายที่จะเห็นว่า

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2 ,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

ตามคำนิยามที่ว่า (f*)* = f กล่าวคือ ฟังก์ชัน f มีค่าเป็นสองเท่ากับ f*

ให้ฟังก์ชันแสดงโดยใช้การซ้อนทับผ่านฟังก์ชันอื่นๆ คำถามคือจะสร้างสูตรที่ใช้ได้อย่างไร ? ให้เราแสดงด้วย = (x 1, ..., x n) สัญลักษณ์ตัวแปรต่างๆ ทั้งหมดที่พบในเซต

ทฤษฎีบท 2.6หากได้รับฟังก์ชัน j จากการซ้อนทับของฟังก์ชัน f, f 1, f 2, ..., f m นั่นคือ

ฟังก์ชันคู่กับการซ้อนทับคือการซ้อนทับของฟังก์ชันคู่

การพิสูจน์.

j*(x 1 ,...,xn) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ð

หลักการของความเป็นคู่เป็นไปตามทฤษฎีบท: ถ้าสูตร A ทราบถึงฟังก์ชัน f(x 1 , ... , x n) ดังนั้นสูตรที่ได้จาก A โดยการแทนที่ฟังก์ชันที่รวมอยู่ในสูตรด้วยฟังก์ชันคู่ของสูตรจะตระหนักถึงฟังก์ชันคู่ f *(x 1 , ... , xn).

ให้เราแสดงด้วย S คลาสของฟังก์ชันคู่ด้วยตนเองทั้งหมดจาก P 2:

ส = (ฉ | ฉ* = ฉ )

มันง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นที่เป็นของ S และฟังก์ชั่นที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

ตัวอย่างเล็กๆ น้อยๆ ของฟังก์ชัน self-dual คือฟังก์ชัน

ชั่วโมง(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​​​yz;

เรามีทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชันสองเท่ากับการซ้อน

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; ชั่วโมง = ชั่วโมง* ; เอช โอ ส.

สำหรับฟังก์ชั่น self-dual ตัวตนจะคงอยู่

ในชุด และ ซึ่งเราจะเรียกว่าตรงกันข้าม ฟังก์ชัน self-dual รับค่าที่ตรงกันข้าม ตามมาว่าฟังก์ชัน self-dual นั้นถูกกำหนดโดยค่าของมันในครึ่งแรกของแถวของตารางมาตรฐาน ดังนั้นจำนวนฟังก์ชัน self-dual ในคลาส S (n) ของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n จะเท่ากับ:

.

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่าคลาส S ปิดแล้ว เนื่องจาก xÎS ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความปิด ก็เพียงพอที่จะแสดงความปิดด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการซ้อนทับ เนื่องจากการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการซ้อนทับด้วยฟังก์ชัน x อนุญาต . งั้นก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า หลังได้รับการติดตั้งโดยตรง:

5. ม- คลาสของฟังก์ชันโมโนโทนิก

ก่อนที่จะกำหนดแนวคิดของฟังก์ชันโมโนโทนิกในพีชคณิตของตรรกะ จำเป็นต้องแนะนำความสัมพันธ์ในการเรียงลำดับชุดของชุดตัวแปรก่อน

เขาว่ากันว่าเซตต้องมาก่อนเซต (หรือ “ไม่เกิน” หรือ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ”) และใช้สัญลักษณ์ถ้า a i £ b i for all i = 1, ... , n ถ้า และ เราจะบอกว่าเซตอยู่ข้างหน้าเซตอย่างเคร่งครัด (หรือ “น้อยกว่าอย่างเคร่งครัด” หรือ “น้อยกว่า” เซต) และใช้สัญลักษณ์ เซตและถูกเรียกว่าเทียบเคียงได้ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือ ในกรณีที่ไม่มีความสัมพันธ์ใด ๆ เกิดขึ้น เซตและถูกเรียกว่าหาที่เปรียบมิได้ ตัวอย่างเช่น (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1) แต่เซต (0, 1, 1, 0) และ (1, 0, 1, 0) ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ ดังนั้น ความสัมพันธ์ £ (มักเรียกว่าความสัมพันธ์ที่มาก่อน) จึงเป็นลำดับบางส่วนของเซต B n ด้านล่างนี้เป็นไดอะแกรมของชุดที่เรียงลำดับบางส่วน B 2, B 3 และ B 4

ความสัมพันธ์ตามลำดับบางส่วนที่แนะนำเป็นแนวคิดที่สำคัญอย่างยิ่งซึ่งไปไกลเกินกว่าขอบเขตของหลักสูตรของเรา

ตอนนี้เรามีโอกาสที่จะกำหนดแนวคิดของฟังก์ชันโมโนโทนิก

ฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะเรียกว่า ความหมายของฟังก์ชันโมโนโทนิกถ้าสำหรับสองชุดใดๆ และ เช่นนั้น ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่ - เซตของฟังก์ชันโมโนโทนทั้งหมดของพีชคณิตของลอจิกเขียนแทนด้วย M และเซตของฟังก์ชันโมโนโทนทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n จะแสดงด้วย M(n)

มันง่ายที่จะเห็นว่ามีฟังก์ชั่นที่เป็นของ M และฟังก์ชั่นที่ไม่อยู่ในคลาสนี้:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xoy Ï M

ให้เราแสดงว่าคลาสของฟังก์ชันโมโนโทน M เป็นคลาสปิด เนื่องจาก xОМ ดังนั้น เพื่อพิสูจน์ความปิด ก็เพียงพอที่จะแสดงความปิดด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการซ้อนทับ เนื่องจากการดำเนินการของการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเป็นกรณีพิเศษของการซ้อนทับด้วยฟังก์ชัน x

อนุญาต . งั้นก็เพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่า

อนุญาต ชุดของตัวแปรตามลำดับฟังก์ชัน j, f 1 , ... , f m และชุดของตัวแปรของฟังก์ชัน j ประกอบด้วยตัวแปรเหล่านั้นและเฉพาะตัวแปรเหล่านั้นที่ปรากฏในฟังก์ชัน f 1 , ... , f m . ให้ และ เป็นค่าสองชุดของตัวแปร และ ชุดเหล่านี้กำหนดชุด ค่าตัวแปร เช่นนั้น - เนื่องจากความน่าเบื่อของฟังก์ชัน f 1 , ... , f m

และเนื่องจากความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน f

จากที่นี่เราได้รับ

จำนวนฟังก์ชันโมโนโทนิกที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร n ตัวนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด สามารถรับขอบเขตล่างได้อย่างง่ายดาย:

โดยที่ - คือส่วนจำนวนเต็มของ n/2

ปรากฎว่าค่าประมาณข้างต้นสูงเกินไป:

การปรับปรุงการประมาณการเหล่านี้เป็นงานที่สำคัญและน่าสนใจสำหรับการวิจัยสมัยใหม่

เกณฑ์ความสมบูรณ์

ตอนนี้เราสามารถกำหนดและพิสูจน์เกณฑ์ความสมบูรณ์ได้ (ทฤษฎีบทของโพสต์) ซึ่งกำหนดเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชัน ให้เรานำการกำหนดและการพิสูจน์เกณฑ์ความครบถ้วนด้วยบทแทรกที่จำเป็นหลายประการซึ่งมีความสนใจโดยอิสระ

เลมม่า 2.7บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเองคู่

ถ้า f(x 1 , ... , x n)Ï S สามารถรับค่าคงที่ได้โดยการแทนที่ฟังก์ชัน x และ `x

การพิสูจน์- เนื่องจากfÏS จึงมีชุดของค่าตัวแปร
=(a 1 ,...,a n) แบบนั้น

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

ลองแทนที่อาร์กิวเมนต์ในฟังก์ชัน f:

x i ถูกแทนที่ด้วย ,

นั่นคือลองพิจารณาฟังก์ชันดู

ดังนั้นเราจึงได้ค่าคงที่ (แม้ว่าจะไม่ทราบว่าเป็นค่าคงที่ใด: 0 หรือ 1) ð

เลมมา 2.8บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำซาก

หากฟังก์ชัน f(x 1 ,...,xn) ไม่ใช่แบบโมโนโทนิก f(x 1 ,...,x n) Ï M ดังนั้นจึงสามารถหาค่าการปฏิเสธได้โดยการเปลี่ยนตัวแปรและแทนที่ค่าคงที่ 0 และ 1.

การพิสูจน์- เนื่องจาก f(x 1 ,...,x n) Ï M ดังนั้นจึงมีชุดของค่าของตัวแปร , เช่นนั้น และอย่างน้อยหนึ่งค่า i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x ฉันจะถูกแทนที่ด้วย

หลังจากการทดแทนดังกล่าว เราจะได้ฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งตัว j(x) ซึ่งเรามี:

ซึ่งหมายความว่า j(x)=`x บทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว ð

เลมมา 2.9.บทแทรกเกี่ยวกับฟังก์ชันไม่เชิงเส้น

ถ้า f(x 1 ,...,x n) Ï L จากนั้นโดยการแทนที่ค่าคงที่ 0, 1 และใช้ฟังก์ชัน `x เราจะได้รับฟังก์ชัน x 1 &x 2 .

การพิสูจน์- ให้เราแสดง f เป็น DNF (เช่น DNF ที่สมบูรณ์แบบ) และใช้ความสัมพันธ์:

ตัวอย่าง- ให้เรายกตัวอย่างการประยุกต์ใช้การแปลงเหล่านี้สองตัวอย่าง

ดังนั้น ฟังก์ชันที่เขียนในรูปแบบปกติที่ไม่ต่อเนื่อง หลังจากใช้ความสัมพันธ์ที่ระบุ วงเล็บเปิด และการแปลงพีชคณิตอย่างง่าย จะกลายเป็นพหุนาม mod 2 (พหุนาม Zhegalkin):

โดยที่ 0 เป็นค่าคงที่ และ A i เป็นค่าร่วมของตัวแปรบางตัวจากตัวเลข x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r

หากการรวม A i แต่ละอันประกอบด้วยตัวแปรเพียงตัวเดียว f จะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของบทแทรก

ดังนั้น ในพหุนาม Zhegalkin สำหรับฟังก์ชัน f จึงมีคำที่มีตัวประกอบอย่างน้อยสองตัว โดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสรุปได้ว่าในบรรดาปัจจัยเหล่านี้ มีตัวแปร x 1 และ x 2 จากนั้นพหุนามสามารถแปลงได้ดังนี้:

ฉ = x 1 x 2 ฉ 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 ฉ 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 ฉ 3 (x 3 ,..., x n) + ฉ 4 (x 3 ,..., xn)

โดยที่ f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (ไม่เช่นนั้นพหุนามจะไม่รวมส่วนร่วมที่มีส่วนร่วม x 1 x 2)

ให้ (a 3 ,...,a n) เป็นเช่นนั้น f 1 (a 3 ,...,a n) = 1 จากนั้น

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ขวาน 1 +bx 2 +g ,

โดยที่ a, b, g เป็นค่าคงที่เท่ากับ 0 หรือ 1

ลองใช้การดำเนินการปฏิเสธที่เรามีและพิจารณาฟังก์ชัน y(x 1 ,x 2) ที่ได้รับจาก j(x 1 ,x 2) ดังนี้:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g

เห็นได้ชัดว่า

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2

เพราะฉะนั้น,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

บทแทรกได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว ð

บทแทรก 2.10บทแทรกหลักของเกณฑ์ความครบถ้วน

ถ้าคลาส F=( f ) ของฟังก์ชันพีชคณิตเชิงตรรกะมีฟังก์ชันที่ไม่รักษาเอกภาพ ไม่คงไว้ 0 เป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ self-dual และไม่ใช่ monotonic:

จากนั้นจากฟังก์ชันของระบบนี้ โดยการดำเนินการของการซ้อนทับและการแทนที่ตัวแปร เราสามารถรับค่าคงที่ 0, 1 และฟังก์ชันได้

การพิสูจน์- ลองพิจารณาฟังก์ชันดู แล้ว

.

มีสองกรณีที่เป็นไปได้ของการพิจารณาในภายหลัง ซึ่งระบุไว้ในการนำเสนอต่อไปนี้เป็น 1) และ 2)

1) ฟังก์ชันบนชุดหน่วยรับค่า 0:

.

เราจะแทนที่ทุกอย่าง ฟังก์ชั่นตัวแปรตัวแปร x แล้วฟังก์ชัน

นั่นก็เพราะว่า

และ .

ลองใช้ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเองคู่กัน เนื่องจากเราได้รับฟังก์ชันนี้แล้ว ดังนั้นด้วยบทแทรกของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวคู่ (บทแทรก 2.7. ) คุณจะได้รับค่าคงที่จาก ค่าคงที่ที่สองสามารถรับได้จากค่าแรกโดยใช้ฟังก์ชัน ดังนั้นในกรณีแรกที่พิจารณา จะได้ค่าคงที่และการปฏิเสธ - กรณีที่สอง และบทแทรกหลักของเกณฑ์ความครบถ้วน ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว ð

ทฤษฎีบท 2.11เกณฑ์สำหรับความสมบูรณ์ของระบบฟังก์ชันในพีชคณิตตรรกศาสตร์ (ทฤษฎีบทโพสต์)

เพื่อให้ระบบฟังก์ชัน F = (f i) สมบูรณ์ จำเป็นและเพียงพอที่ไม่ได้อยู่ในคลาสปิดใดคลาสหนึ่งในห้าคลาส T 0, T 1, L, S, M นั่นคือสำหรับ แต่ละคลาส T 0 , T 1 , L , S, M ใน F มีอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันที่ไม่อยู่ในคลาสนี้

ความจำเป็น- ให้ F เป็นระบบที่สมบูรณ์ สมมติว่า F มีอยู่ในคลาสใดคลาสหนึ่งที่ระบุ ให้เราเขียนแทนด้วย K นั่นคือ F Í K การรวมครั้งสุดท้ายเป็นไปไม่ได้ เนื่องจาก K เป็นคลาสปิดที่ไม่ใช่ระบบที่สมบูรณ์

ความเพียงพอ- ปล่อยให้ระบบฟังก์ชั่นทั้งหมด F = (f i ) ไม่ได้อยู่ในคลาสปิดใด ๆ จากห้าคลาส T 0 , T 1 , L , S , M ให้เราทำหน้าที่ต่อไปนี้ใน F:

จากนั้นขึ้นอยู่กับบทแทรกหลัก (บทแทรก 2.10 ) จากฟังก์ชันที่ไม่รักษา 0 ฟังก์ชันที่ไม่รักษา 1 ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ self-dual และ non-monotonic เราสามารถรับค่าคงที่ 0, 1 และฟังก์ชันการปฏิเสธ:

.

ขึ้นอยู่กับบทแทรกในฟังก์ชันไม่เชิงเส้น (บทแทรก 2.9 ) จากค่าคงที่ การปฏิเสธ และฟังก์ชันไม่เชิงเส้น เราสามารถหาค่าร่วมได้:

.

ระบบฟังก์ชั่น - ระบบที่สมบูรณ์ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการแสดงฟังก์ชันใด ๆ ของพีชคณิตของตรรกะในรูปแบบของการแยกส่วนที่สมบูรณ์แบบ รูปร่างปกติ(โปรดทราบว่าการแยกทางสามารถแสดงได้ผ่านการร่วมและการปฏิเสธในรูปแบบ ).

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์แล้ว ð

ตัวอย่าง.

1. ให้เราแสดงว่าฟังก์ชัน f(x,y) = x|y ก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์ มาสร้างตารางค่าของฟังก์ชันx½yกัน:

f(0,0) = 1 ดังนั้น x | ใช่แล้ว 0

f(1,1) = 0 ดังนั้น x | คุณ 1

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0 ดังนั้น x | คุณเอ็ม

f(0,1) = f(1,0) = 1, - บนเซตตรงข้าม x | y ใช้ค่าเดียวกัน ดังนั้น x | ใช่

สุดท้ายความไม่เชิงเส้นของฟังก์ชันหมายถึงอะไร?
x | ย.

ตามเกณฑ์ความครบถ้วน เราสามารถระบุได้ว่า f(x,y) = x | y สร้างระบบที่สมบูรณ์ ð

2. ให้เราแสดงว่าระบบของฟังก์ชั่น ก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์

จริงหรือ, .

ดังนั้น ในบรรดาฟังก์ชันของระบบของเรา เราพบ: ฟังก์ชันที่ไม่รักษา 0, ฟังก์ชันที่ไม่รักษา 1, ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ตัวเองคู่, ไม่ใช่แบบโมโนโทนิกและไม่เป็นเชิงเส้น โดยพิจารณาจากเกณฑ์ความสมบูรณ์แล้วสามารถโต้แย้งได้ว่าระบบการทำงาน ก่อให้เกิดระบบที่สมบูรณ์ ð

ดังนั้นเราจึงมั่นใจว่าเกณฑ์ความสมบูรณ์ให้เชิงสร้างสรรค์และ วิธีที่มีประสิทธิภาพชี้แจงความสมบูรณ์ของระบบการทำงานของพีชคณิตตรรกศาสตร์

ให้เรากำหนดข้อพิสูจน์สามข้อจากเกณฑ์ความสมบูรณ์

ข้อพิสูจน์ 1- ฟังก์ชัน K คลาสปิดใดๆ ของพีชคณิตลอจิกที่ไม่ตรงกับชุดฟังก์ชันทั้งหมดของพีชคณิตลอจิก (K¹P 2) มีอยู่ในคลาสปิดที่สร้างขึ้นอย่างน้อยหนึ่งคลาส

คำนิยาม.คลาสปิด K เรียกว่า เต็มก่อนถ้า K ไม่สมบูรณ์และสำหรับฟังก์ชันใดๆ fÏ K คลาส K È (f) จะเสร็จสมบูรณ์

จากคำจำกัดความ เป็นไปตามที่คลาสที่กรอกไว้ล่วงหน้าถูกปิด

ข้อพิสูจน์ 2.ในพีชคณิตของตรรกะมีเพียงห้าคลาสที่สำเร็จแล้วเท่านั้น ได้แก่ T 0, T 1, L, M, S

เพื่อพิสูจน์ข้อพิสูจน์ คุณเพียงแค่ต้องตรวจสอบว่าไม่มีคลาสเหล่านี้อยู่ในคลาสอื่น ซึ่งได้รับการยืนยันแล้ว เช่น โดยตารางฟังก์ชันต่อไปนี้ที่เป็นของคลาสที่แตกต่างกัน:

ข้อพิสูจน์ 3.จากทุกๆ ระบบที่สมบูรณ์สามารถแยกแยะระบบย่อยที่สมบูรณ์ซึ่งมีฟังก์ชันไม่เกินสี่ฟังก์ชันได้

จากการพิสูจน์เกณฑ์ความสมบูรณ์ จะสามารถแยกแยะฟังก์ชันได้ไม่เกินห้าฟังก์ชัน จากการพิสูจน์บทแทรกหลัก (Lemma 2.10 ) ตามนั้น ไม่เป็นตัวของตัวเองหรือไม่รักษาความสามัคคีและไม่ซ้ำซากจำเจ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชันไม่เกินสี่ฟังก์ชัน

ให้มี 2 ฟังก์ชั่น:

: A→B และ g: D→F

ให้โดเมนของคำจำกัดความ D ของฟังก์ชัน g รวมอยู่ในโดเมนของค่าของฟังก์ชัน f (DB) จากนั้นเราก็สามารถกำหนดได้ คุณลักษณะใหม่ – การซ้อนทับ (องค์ประกอบ, ฟังก์ชันที่ซับซ้อน)ฟังก์ชั่น f และ g: z= ก( (x)).

ตัวอย่าง.ฉ(x)=x 2 , ก(x)=อี x . f:R→R, g:R→R .

(g(x))=e 2x , ก.((x))=.

คำนิยาม

ให้มีสองฟังก์ชัน องค์ประกอบของพวกเขาคือฟังก์ชันที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน:

คุณสมบัติองค์ประกอบ

องค์ประกอบมีความเชื่อมโยง:

ถ้า เอฟ= รหัส เอ็กซ์- การทำแผนที่เหมือนกันกับ เอ็กซ์นั่นคือ

.

ถ้า ช= รหัส ย- การทำแผนที่เหมือนกันกับ ยนั่นคือ

.

คุณสมบัติเพิ่มเติม

เซตนับได้และนับไม่ได้

ชุดจำกัดสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนเท่ากัน หากสามารถกำหนดความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดเหล่านี้ได้ จำนวนองค์ประกอบของเซตจำกัดคือจำนวนเชิงการนับของเซต

สำหรับเซตอนันต์ เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตทั้งหมดกับส่วนของเซตนั้นได้

เซตอนันต์ที่ง่ายที่สุดคือเซต N

คำนิยาม.เซต A และ B เรียกว่า เทียบเท่า(AB) ถ้าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างกัน

หากเซตจำกัดสองเซตเท่ากัน เซตนั้นจะประกอบด้วยสมาชิกจำนวนเท่ากัน

หากเซต A และ B ที่เทียบเท่ากันเป็นชุดโดยพลการ แสดงว่า A และ B มีความเหมือนกัน พลัง- (กำลัง = ความเท่าเทียมกัน)

สำหรับเซตจำกัด แนวคิดเรื่องจำนวนนับสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องจำนวนองค์ประกอบของเซต

คำนิยาม.ชุดนี้มีชื่อว่า นับได้หากเป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างมันกับเซตของจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ เซตนับได้เป็นอนันต์ เทียบเท่ากับเซต N)

(นั่นคือ องค์ประกอบทั้งหมดของเซตนับได้สามารถกำหนดหมายเลขได้)

คุณสมบัติของความสัมพันธ์เชิงอำนาจที่เท่ากัน

1) AA - การสะท้อนกลับ

2) AB แล้วก็ BA – สมมาตร

3) AB และ BC จากนั้น AC ก็คือการเคลื่อนที่

ตัวอย่าง.

1) n→2n, 2,4,6,… - แม้กระทั่งโดยธรรมชาติ

2) n→2n-1, 1,3,5,… - วัตถุธรรมชาติที่แปลก

คุณสมบัติของเซตนับได้.

1. เซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเซตนับได้สามารถนับได้

การพิสูจน์- เพราะ A นับได้ จากนั้น A: x 1, x 2,... - แมป A กับ N

ВА, В: →1,→2,… - กำหนดแต่ละองค์ประกอบของ B ให้เป็นจำนวนธรรมชาติ เช่น แมป B กับ N ดังนั้น B จึงสามารถนับได้ ฯลฯ

2. การรวมกันของระบบจำกัด (นับได้) ของเซตนับได้สามารถนับได้

ตัวอย่าง.

1. เซตของจำนวนเต็ม Z สามารถนับได้ เพราะว่า เซต Z สามารถแสดงเป็นการรวมกันของเซตนับได้ A และ B โดยที่ A: 0,1,2,.. และ B: -1,-2,-3,...

2. มากมาย สั่งคู่ ((m,n): m,nZ) (เช่น (1,3)≠(3,1))

3 (!) - เซตของจำนวนตรรกยะสามารถนับได้

ถาม=. เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของเศษส่วนลดไม่ได้ Q และเซตของคู่อันดับ:

ที่. เซต Q เทียบเท่ากับเซต ((p,q))((m,n))

เซต ((m,n)) – เซตของคู่ที่เรียงลำดับทั้งหมด – สามารถนับได้ ดังนั้น เซต ((p,q)) จึงสามารถนับได้ ดังนั้น Q จึงสามารถนับได้

คำนิยาม.จำนวนอตรรกยะคือทศนิยมอนันต์ตามอำเภอใจ ไม่ใช่เป็นระยะเศษส่วนเช่น  0 , 1  2 …

เซตของเศษส่วนทศนิยมทั้งหมดจะรวมกันเป็นเซต ตัวเลขจริง (จริง)

เซตของจำนวนอตรรกยะนับไม่ได้

ทฤษฎีบท 1- เซตของจำนวนจริงจากช่วง (0,1) เป็นเซตที่นับไม่ได้

การพิสูจน์- สมมติว่าตรงกันข้ามคือ ว่าตัวเลขทั้งหมดในช่วง (0,1) สามารถกำหนดหมายเลขได้ จากนั้น เมื่อเขียนตัวเลขเหล่านี้ในรูปของเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เราจะได้ลำดับ:

x 1 =0,ก 11 ถึง 12 ...ก 1n ...

x 2 =0,ก 21 ก 22 …ก 2n …

…………………..

xn =0,มี 1 ถึง 2 …มี …

……………………

ตอนนี้ให้เราพิจารณาจำนวนจริง x=0,b 1 b 2 …bn… โดยที่ b 1 เป็นจำนวนใดๆ ที่แตกต่างจาก 11 (0 และ 9) b 2 เป็นจำนวนใดๆ ที่แตกต่างจาก 22 (0 และ 9) ) ,…, bn - ตัวเลขใดๆ ที่แตกต่างจาก nn, (0 และ 9)

ที่. x(0,1) แต่ xx i (i=1,…,n) เพราะว่า มิฉะนั้น b i =a ii เรามาถึงความขัดแย้งแล้ว ฯลฯ

ทฤษฎีบท 2ช่วงใดๆ ของแกนจริงถือเป็นเซตที่นับไม่ได้

ทฤษฎีบท 3เซตของจำนวนจริงนับไม่ได้

เกี่ยวกับเซตใดๆ ที่เทียบเท่ากับเซตของจำนวนจริงว่ากันว่าเป็นเซตนั้น พลังต่อเนื่อง(ความต่อเนื่องภาษาละติน – ต่อเนื่อง, ต่อเนื่อง)

ตัวอย่าง- ให้เราแสดงว่าช่วงนั้นมีพลังของความต่อเนื่อง

ฟังก์ชัน y=tg x: →R แสดงช่วงเวลาบนเส้นจำนวนทั้งหมด (กราฟ)