Інтенсивність відмов- Відношення щільності розподілу ймовірності відмов до ймовірності безвідмовної роботи об'єкта:
де - щільність ймовірності відмов та - ймовірність безвідмовної роботи.
Простими словами, інтенсивність відмов висловлює шанс відмовити у найближчий час об'єкта (наприклад, приладу), який вже пропрацював без відмов певний час.
Статистично інтенсивність відмов є відношення числа зразків техніки, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості зразків, що справно працюють на інтервалі :
Де - середня кількість зразків, що справно працюють.
на інтервалі.
Співвідношення (1) для малих випливає безпосередньо з формули ймовірності безвідмовної роботи (3)
та формули щільності розподілу безвідмовної роботи (частоти відмов) (4)
На основі визначення інтенсивності відмов (1) має місце рівність:
Інтегруючи (5), отримаємо:
Інтенсивність відмов є основним показником надійності складних систем. Це пояснюється такими обставинами:
- надійність багатьох елементів можна оцінити одним числом, т.к. інтенсивність відмови елементів – величина постійна;
- Інтенсивність відмов неважко отримати експериментально.
Досвід експлуатації складних систем показує, що зміна інтенсивності відмов більшості об'єктів описується - образної кривої.
Час можна умовно поділити на три характерні ділянки: 1. Період опрацювання. 2. Період нормальної експлуатації. 3. Період старіння об'єкта.
Період опрацювання об'єкта має підвищену інтенсивність відмов, викликану приробітковими відмовими, зумовленими дефектами виробництва, монтажу та налагодження. Іноді із закінченням цього періоду пов'язують гарантійне обслуговуванняоб'єкта, коли усунення відмов провадиться виробником. У період нормальної експлуатації інтенсивність відмов практично залишається постійною, при цьому відмови носять слуайний характер і з'являються раптово, насамперед через випадкові зміни навантаження, недотримання умов експлуатації, несприятливих зовнішніх факторів і т.п. Саме цей період відповідає основному часу експлуатації об'єкта. Зростання інтенсивності відмов відноситься до періоду старіння об'єкта і викликане збільшенням кількості відмов через знос, старіння та інші причини, пов'язані з тривалою експлуатацією. Тобто ймовірність відмови елемента, що дожив для моменту в деякому проміжку часу, залежить від значень тільки на цьому проміжку, а отже інтенсивність відмов - локальний показник надійності елемента на даному проміжку часу.
Лекція №3
Тема №1. Показники надійності ЕМС
Показники надійності характеризують такі найважливіші властивості систем, як безвідмовність, живучість, відмовостійкість, ремонтопридатність, збереження, довговічністьі є кількісною оцінкою їх технічного стану та середовища, в якому вони функціонують та експлуатуються. Оцінка показників надійності складних технічних системна різних етапах життєвого циклу використовується для вибору структури системи з багатьох альтернативних варіантів, призначення гарантійних термінів експлуатації, вибору стратегії та тактики технічного обслуговування, аналізу наслідків відмов елементів системи.
Аналітичні методи оцінки показників надійності складних технічних систем управління та ухвалення рішення базуються на положеннях теорії ймовірності. З огляду на імовірнісної природи відмов оцінка показників полягає в використанні методів математичної статистики. При цьому статистичний аналіз проводиться, як правило, в умовах апріорної невизначеності щодо законів розподілу випадкових значень напрацювання системи, а також за вибірками обмеженого обсягу, що містять дані про моменти відмови елементів системи при випробуваннях або в умовах експлуатації.
Можливість безвідмовної роботи (ВБР) – це ймовірність того, що за певних умов експлуатації у заданому інтервалі часу не станеться жодної відмови. Ймовірність P(t) – функція, спадна див. рис.1 причому,
ВБР за статистичними даними про відмови оцінюється виразом
(1)
де – статистична оцінка ВБР; – кількість виробів на початку випробувань, за великої кількості виробів статистична оцінка практично збігається з ймовірністю P(t) ; –кількість виробів, що відмовили за час t.
Рисунок 1. Криві ймовірності безвідмовної роботи та ймовірності відмов
Ймовірність відмови Q ( t ) – це ймовірність того, що за певних умов експлуатації у заданому інтервалі часу відбудеться хоча б одна відмова. Відмова та безвідмовна робота – події протилежні та несумісні
(2)
Частота відмов a ( t ) – є відношення виробів, що відмовили, в одиницю часу до початкового числа виробів, що випробовуються.
(3)
де – число виробів, що відмовили, в інтервалі часу D t.
Частота відмов або густина ймовірності відмов може бути визначена як похідна за часом ймовірності відмов
Знак (-) характеризує швидкість зниження надійності у часі.
Середнє напрацювання до відмови - Середнє значення тривалості роботи неремонтованого пристрою до першої відмови:
де – тривалість роботи (напрацювання) до відмови i-го пристрою; - Число спостережуваних пристроїв.
приклад.Спостереження за експлуатацією 10 електродвигунів виявили, що перший пропрацював повністю 800 год, другий – 1200 і далі відповідно; 900, 1400, 700, 950, 750, 1300, 850 та 1500 год. Визначити напрацювання двигунів до раптової відмови,
Рішення. По (5) маємо
Інтенсивність відмов l ( t ) – умовна щільність ймовірності виникнення відмови, яка визначається як відношення числа виробів, що відмовили, в одиницю часу до середньої кількості виробів, що справно працюють у даний відрізок часу.
, (6)
де - Число пристроїв, що відмовили в період часу; - Число середня кількість пристроїв, що справно працюють в період спостереження; - Період спостереження.
Можливість безвідмовної роботи Р(t)через висловиться
. (8)
приклад 1.Під час експлуатації 100 трансформаторів протягом 10 років відбулося дві відмови, причому щоразу відмовляв новий трансформатор. Визначити інтенсивність відмов трансформатора у період спостереження.
Рішення.За (6) маємо 
відк. / Рік.
Приклад2. Зміна кількості відмов BJI через виробничу діяльність сторонніх організацій по місяцях року представлена таким чином:
Визначити середньомісячну інтенсивність відмов.
Рішення. 
; 
відк./міс.
Очікувана розрахункова інтенсивність l = 7,0.
Середнє напрацювання на відмову –середнє значення напрацювання пристрою, що ремонтується, між відмовами, що визначається як середнє арифметичне:
, (9)
де – напрацювання до першого, другого, n-го відмови; n– кількість відмов від початку експлуатації до закінчення спостереження. Напрацювання на відмову, або середній час безвідмовної роботи, є математичне очікування:
. (10)
приклад.Трансформатор відмовив, пропрацювавши близько року. Після усунення причин відмови він пропрацював ще три роки і знову вийшов з ладу. Визначити середнє напрацювання трансформатора на відмову.
Рішення. За (1.7) обчислимо 
року.
Параметр потоку відмов –середня кількість відмов пристрою, що ремонтується в одиницю часу, взята для аналізованого моменту часу:
(11)
де – кількість відмов i-го пристрою станом на аналізовані моменти часу - і tвідповідно; N- Число пристроїв; - Розглянутий період роботи, причому .
Відношення середньої кількості відмов об'єкта, що відновлюється, за довільно малу його напрацювання до значення цього напрацювання
приклад. Електротехнічний пристрій складається із трьох елементів. Протягом першого року експлуатації у першому елементі відбулося дві відмови, у другому – одна, у третьому відмов не було. Визначте параметр потоку відмов.
Рішення
Звідки (1.8) 
Середнє значення ресурсу розраховують за даними експлуатації або випробувань з використанням вже відомого виразу для напрацювання:
.
Середній час відновлення – середній час вимушеного чи регламентованого простою, викликаного виявленням та усуненням однієї відмови:
де – порядковий номер відмови; - Середній час виявлення та усунення відмови.
Коефіцієнт готовності – ймовірність того, що обладнання буде працездатним у довільно вибраний момент часу у проміжках між виконанням планового технічного обслуговування. При експоненційному законі розподілу часу безвідмовної роботи та часу відновлення коефіцієнт готовності
.
Коефіцієнт вимушеного простою - Це відношення часу вимушеного простою до суми часу справної роботи та вимушених простоїв.
Коефіцієнт технічного використання – це відношення напрацювання обладнання в одиницях часу за певний період експлуатації до суми цього напрацювання та часу всіх простоїв, викликаних технічним обслуговуванням та ремонтами за той же період експлуатації:
.
Крім того [ГОСТ 27.002-83] визначає показники довговічності, у термінах яких слід зазначати вид дій після настання граничного стану об'єкта (наприклад, середній ресурс до капітального ремонту; гамма-відсотковий ресурс до середнього ремонту тощо). Якщо граничний стан зумовлює остаточне зняття об'єкта з експлуатації, показники довговічності називаються: повний середній ресурс (термін служби), повний гамма-відсотковий ресурс (термін служби), повний призначений ресурс (термін служби).
Середній ресурс- Математичне очікування ресурсу.
Гамма-відсотковий ресурс– напрацювання, протягом якого об'єкт не досягне граничного стану із заданою ймовірністю g, вираженою у відсотках.
Призначений ресурс– сумарне напрацювання об'єкта, при досягненні якого застосування за призначенням має бути припинено.
Середній термін служби- Математичне очікування терміну служби.
Гамма-відсотковий термін служби- Календарна тривалість від початку експлуатації об'єкта, протягом якої він не досягне граничного стану із заданою ймовірністю g, вираженої у відсотках.
Призначений термін служби– календарна тривалість експлуатації об'єкта, при досягненні якої застосування за призначенням має бути припинено.
Показники ремонтопридатності та збереження визначаються наступним чином.
Ймовірність відновлення працездатного стану- Це ймовірність того, що час відновлення працездатного стану об'єкта не перевищить заданого.
Середній час відновлення працездатного стануяния – це математичне очікування часу відновлення працездатного стану.
Середній термін зберігання- Це математичне очікування терміну збереження.
Гамма-відсотковий термін зберігання- Це термін збереження, що досягається об'єктом із заданою ймовірністю, вираженою у відсотках.
де - час справної роботи між ним відмовими об'єкта; - Число відмов об'єкта.
За досить великої кількості відмов прагне середнього часу між двома сусідніми відмовими. Якщо проводиться випробування кількох однотипних об'єктів, то середній час між відмовами визначають з виразу
кількість об'єктів. (1.11)
Інтенсивність відмов– це відношення числа об'єктів, що відмовили в одиницю часу до середньої кількості об'єктів, що продовжують справно працювати в даний інтервал часу:
(1.12)
тут кількість об'єктів, що відмовили за проміжок часу від до , а 
де число об'єктів, що справно працюють, на початку інтервалу часу; кількість об'єктів, що справно працюють, в кінці інтервалу часу
У теорії надійності прийнято модель інтенсивності відмов об'єкта, що характеризується наведеною нижче кривою інтенсивності відмов об'єкта в процесі експлуатації.
Малюнок 1.3 - Модель інтенсивності відмов об'єкта
Параметр потоку відмов– це відношення середньої кількості відмов об'єкта, що відновлюється, за довільно малу його напрацювання до значення цього напрацювання. Цей показник використовують для оцінки безвідмовності відновлюваних об'єктів у процесі експлуатації: у початковий період часу об'єкт працює повністю; після відмови відбувається відновлення об'єкта, і об'єкт знову працює повністю і так далі. Вважають, що відновлення об'єкта відбувається миттєво. Для таких об'єктів моменти відмов на осі сумарного доробку (осі часу) утворюють потік відмов. Як характеристика потоку відмов використовують - «провідну функцію» даного потоку – математичне очікування кількості відмов за час t: 
(1.13)
Параметр потоку відмов характеризує середнє відмов, очікуваних на малому інтервалі часу
Статистично параметр потоку відмов визначають за формулою
(1.15)
де кількість відмов об'єкта, що відновлюється за інтервал часу від до .
Середній ресурс- Це математичне очікування ресурсу.
Гамма-відсотковий ресурс% - це напрацювання, протягом якої об'єкт не досягне граничного стану із заданою ймовірністю, вираженою у відсотках. Формула для розрахунку аналогічна формулі для гамма-відсоткового доробку до відмови.
Призначений ресурсвизначається як сумарне напрацювання об'єкта, при досягненні якого застосування за призначенням має бути припинено.
Середній термін служби- Математичне очікування терміну служби.
Гамма-відсотковий термін служби% - це календарна тривалість від початку експлуатації об'єкта, протягом якої він не досягне граничного стану із заданою ймовірністю , %.
Призначений термін служби- Календарна тривалість експлуатації об'єкта, при досягненні якої застосування за призначенням об'єкта має бути припинено.
Призначений ресурс та призначений термін службивстановлюють виходячи з суб'єктивних чи організаційних припущень, і є непрямими показниками надійності.
Момент відновлення працездатності об'єкта після відмови є випадковою подією. Тому як характеристику ремонтопридатності використовується функція розподілу цієї випадкової величини. Ймовірністю відновленняназивається ймовірність того, що час відновлення працездатного стану об'єкта не перевищить заданого:
Ймовірність не відновленняна заданому інтервалі, тобто. ймовірність того, що дорівнює
Рисунок 1.4 - Зміна ймовірностей відновлення та не відновлення у часі
Щільність ймовірності моменту відновлення дорівнює 
Середнім часом відновленняє момент 1-го порядку (математичне очікування) часу відновлення працездатного стану об'єкта.
(1.16)
Статистично середній час відновлення дорівнює де - час виявлення та усунення - го відмови об'єкта.
Важливим показником ремонтопридатності об'єкта є інтенсивність відновлення, Яка, слідуючи загальної методології, аналогічна показнику безвідмовності - інтенсивності відмов.
Показники збереження – середній термін зберігання та гамма-відсотковий термін зберігання– визначаються аналогічно відповідним показникам безвідмовності та довговічності. Середній термін збереження – це математичне очікування терміну збереження; а гамма-відсотковий термін збереження – це термін збереження, що досягається об'єктом із заданою ймовірністю, %.
Оскільки імовірнісні характеристики окремих властивостейнадійності вважають незалежними, то для оцінки кількох властивостей надійності використовують комплексні показники.Розглянемо комплексні показники, що застосовуються в теорії надійності.
Коефіцієнт готовності– це ймовірність того, що об'єкт опиниться у працездатному стані у довільний момент часу, крім запланованих періодів, протягом яких застосування об'єкта за призначенням не передбачається
Коефіцієнт оперативної готовностівизначається як ймовірність того, що об'єкт опиниться в працездатному стані в довільний момент часу, крім запланованих періодів, протягом яких застосування об'єкта за призначенням не передбачається і, починаючи з цього моменту, працюватиме безвідмовно протягом заданого інтервалу часу: 
(1.18)
До цього моменту такі об'єкти можуть бути в режимі чергування, але без виконання заданих робочих функцій. В обох режимах можливе виникнення відмов та відновлення працездатності об'єкта.
Іноді користуються коефіцієнтом простою
Коефіцієнт технічного використання– це відношення математичне очікування інтервалу часу напрацювання об'єкта, що відновлюється, до математичного очікування інтервалів часу перебування об'єкта в станах простоїв, обумовлених технічним обслуговуванням та ремонтами, за той же період експлуатації
(1.20)
де математичне очікування напрацювання об'єкта, що відновлюється; математичне очікування інтервалів часу простоїв при технічному обслуговуванні; математичне очікування часу, що витрачається на планові та позапланові ремонти. характеризує частку часу об'єкта у працездатному стані щодо тривалості експлуатації, що розглядається.
Коефіцієнт запланованого застосування– це відношення різниці заданої тривалості експлуатації та математичного очікування сумарної тривалості планових технічних обслуговувань та ремонтів за той же період експлуатації до значення цього періоду
(1.21)
Коефіцієнт збереження ефективності –відношення значення показника ефективності за певну тривалість експлуатації Е до номінального значення показника Е0, обчисленого за умови, що відмови об'єкта протягом того ж періоду експлуатації не виникають. Цей коефіцієнт характеризує рівень впливу відмов елементів об'єкта на ефективність його застосування за призначенням
При цьому під ефективністю застосування об'єктарозуміють його властивість створювати певний корисний результат (вихідний ефект) протягом періоду експлуатації за певних умов. Показник ефективності – показник якості, що характеризує виконання об'єктом його функций. Аналітичні висловлювання для розрахунку ефекту об'єктів різних типівнаведені у ГОСТ 27.003-89. Вибір номенклатури показників надійності та його нормування здійснюють виходячи з ГОСТ 27.033-83.
1.4 Загальний порядок забезпечення надійності на стадіях
«життєвого» циклу об'єкту
Відповідно до ГОСТ 27.003-90 розглянемо деякі питання заданої теми.
1.4.1 Склад та загальні правила завдання вимог на надійність
1 При заданні вимог щодо надійності визначають та узгоджують між замовником та розробником:
Типову модель експлуатації, стосовно якої задають вимоги щодо надійності;
Критерії відмов щодо моделі експлуатації;
Критерії граничних станів виробів, стосовно яких встановлюють вимоги щодо довговічності та збереження;
Поняття «вихідний ефект» для виробів, вимоги до яких встановлені коефіцієнтом збереження ефективності До еф . ;
Номенклатуру та значення показників надійності (ПН) відповідно до прийнятої моделі експлуатації;
Вимоги та обмеження щодо конструктивних, технологічних та експлуатаційних способів забезпечення надійності, при необхідності з урахуванням економічних обмежень;
Необхідність розробки програми забезпечення надійності.
2 Типова модель експлуатації виробів повинна містити:
Послідовність видів, режимів експлуатації (зберігання, транспортування, розгортання, очікування застосування за призначенням, технічного обслуговування та планових ремонтів) із зазначенням їх тривалості;
Характеристику прийнятої системи технічного обслуговування та ремонту, забезпечення запасними частинами, інструментом та експлуатаційними матеріалами;
рівні зовнішніх факторів, що впливають, і навантажень для кожного виду, режиму експлуатації;
Чисельність та кваліфікацію обслуговуючого та ремонтного персоналу.
3 Номенклатура ПН вибирається за ГОСТ 27.002.
4 Загальна кількість, що вибираються ПН, має бути мінімальною.
5 Для відновлюваних виробів, як правило, задають комплексний ПН ..., можливі поєднання показників, що задаються К г і Т о; К г і Т; Т і Т в.Неприпустиме поєднання До р, Т о, Т в.
6 Вимоги щодо надійності включають до таких документів:
Технічне завдання(ТЗ) на розробку чи модернізацію виробів;
Технічні умови (ТУ) виготовлення продукції;
Стандарти загальних технічних вимог(ОТТ), загальних технічних умов (ОТУ) та технічних умов (ТУ).
У паспортах, формулярах, інструкціях та іншій експлуатаційній документації вимоги щодо надійності (ПН) вказують за погодженням між замовником та розробником як довідкові. Вимоги щодо надійності можуть включатися до договору на розробку та постачання виробів.
1.4.2 Порядок завдання вимог щодо надійності на різних
стадіях життєвого циклу виробів
1 Вимоги щодо надійності, що включаються до ТЗ, визначають на стадії дослідження та розробки шляхом:
Аналіз вимог замовника, умов експлуатації, обмежень за всіма видами витрат;
Вироблення та погодження із замовником критеріїв відмов та граничних станів;
Вибором раціональної номенклатури ПН;
Встановлення значень ПН виробу та його складових частин.
2 На стадіях розробки виробу уточнюються вимоги щодо надійності шляхом:
Розгляди можливих варіантівпобудови виробу та розрахунку ПН;
Вибір варіанта, що задовольняє замовника за сукупністю ПН та витрат;
Уточнення значень ПН виробу та його складових частин.
3 У ТУ на серійний виріб включають ті ПН, які передбачається контролювати на етапі виготовлення виробу.
4 На стадіях серійного виробництва та експлуатації допускається корекція значень ПН за результатами випробувань чи експлуатації.
5 Для складних виробів при їх відпрацюванні, дослідному або серійному виробництві допускається поетапне завдання значень ПН (за умови їх підвищення) та параметрів планів контролю з урахуванням накопичених статистичних даних щодо попередніх виробів-аналогів та за погодженням між замовником та розробником.
6 За наявності прототипів (аналогів) з достовірно відомим рівнем надійності склад робіт із завданням вимог щодо надійності у пунктах 1 і 2 може бути скорочений за рахунок тих показників, інформація за якими є на момент формування розділу ТЗ, ТУ «Вимоги щодо надійності».
1.5 Аналітичні залежності між показниками надійності
Залежність між ймовірністю безвідмовної роботи та середнім напрацюванням до відмови:
Звідси, 
тобто. середнє напрацювання повністю дорівнює площі під кривою ймовірності безвідмовної роботи об'єкта.
Зв'язок між ймовірністю безвідмовної роботи та інтенсивністю відмов
Якщо на випробування поставлено N 0об'єктів, то кількість об'єктів, які справно працюватимуть на момент часу t, одно
Для моменту часу
Число об'єктів, що відмовили
Тоді 
(1.24)
Оскільки - позитивно певна функція, то
(1.25)
Зв'язок між ймовірністю безвідмовної роботи, інтенсивністю відмов і середнім напрацюванням вщент.
(1.26)
Для , наприклад, у нормальний період експлуатації
(1.27)
При цьому (1.28)
Залежність між щільністю ймовірності часу безвідмовною
роботи та параметром потоку відмов.
Нехай випробовується N 0кількість об'єктів, причому, об'єкти, що відмовили, замінюються новими (вибірка з відшкодуванням). Якщо об'єкти не відновлюються, параметр потоку відмов дорівнює
(1.29)
Середня кількість об'єктів, що відмовили в інтервалі часу, пропорційна значенню, довжині інтервалу часу і.
При розгляді питань надійності часто буває зручно уявити справу так, ніби на елемент діє потік відмов з деякою інтенсивністю l(t); елемент відмовляє у той час, коли відбувається перша подія цього потоку.
Образ "потоку відмов" набуває реального сенсу, якщо елемент, що відмовив, негайно замінюється новим (відновлюється). Послідовність випадкових моментів часу, коли відбуваються відмови (рис.3.10), є деякий потік подій, а інтервали між подіями - незалежні випадкові величини, розподілені за відповідним законом розподілу.
Поняття "інтенсивності відмов" може бути введено для будь-якого закону надійності із щільністю f(t); у випадку інтенсивність відмов l буде змінною величиною.
Інтенсивністю(або інакше "небезпекою") відмов називається відношення щільності розподілу часу безвідмовної роботи елемента до його надійності:
Пояснимо фізичний зміст цієї характеристики. Нехай одночасно випробовується велика кількість N однорідних елементів, кожен - досі відмови. Позначимо n(t) - кількість елементів, що виявилися справними на момент t, а m(t, t+Dt), як і раніше, - кількість елементів, що відмовили на малій ділянці часу (t, t+Dt). На одиницю часу прийдеться середня кількість відмов
Розділимо цю величину не на загальну кількість елементів N, які випробовуються, а на число справнихна момент t елементів n(t). Неважко переконатися, що при великому N відношення буде приблизно дорівнює інтенсивності відмов l (t):
Дійсно, при великому N n(t)»Np(t)
Але згідно з формулою (3.4) ,
У роботах з надійності наближений вираз (3.8) найчастіше розглядають як визначення інтенсивності відмов, тобто. її визначають як середня кількість відмов в одиницю часу, що припадає на один працюючий елемент.
Характеристиці l(t) можна дати ще одне тлумачення: це є умовна щільність ймовірності відмови елемента в даний моментчасу t, за умови, що до моменту t він працював безвідмовно. Дійсно, розглянемо елемент ймовірності l(t)dt - ймовірність того, що за час (t, t+dt) елемент перейде зі стану "працює" у стан "не працює", за умови, що до моменту t він працював. Справді, безумовна ймовірність відмови елемента дільниці (t, t+dt) дорівнює f(t)dt. Це - ймовірність поєднання двох подій:
А - елемент справно працював до моменту t;
- елемент відмовив на ділянці часу (t, t+dt).
За правилом множення ймовірностей: f(t)dt = P(АВ) = Р(А) Р(В/А).
З огляду на, що Р(А)=р(t), отримаємо: ;
а величина l(t) є не що інше, як умовна щільність ймовірності переходу від стану "працює" у стан "відмовив" для моменту t.
Якщо відома інтенсивність відмов l(t), можна виразити її надійність р(t). Враховуючи, що f(t)=-p"(t), запишемо формулу (3.7) у вигляді:
Інтегруючи, отримаємо: ,
Таким чином, надійність виражається через інтенсивність відмов.
В окремому випадку, коли l(t)=l=const, формула (3.9) дає:
p(t)=e - l t (3.10)
тобто. так званий експонентний закон надійності.
Користуючись чином "потоку відмов", можна витлумачити як формулу (3.10), а й загальну формулу (3.9). Уявімо (абсолютно умовно!), Що на елемент з довільним законом надійності p(t) діє потік відмов зі змінною інтенсивністю l(t). Тоді формула (3.9) для р(t) виражає ймовірність того, що на ділянці часу (0, t) не з'явиться жодної відмови.
Таким чином, як при експоненційному, так і за будь-якого іншого закону надійності, роботу елемента, починаючи з моменту включення t=0, можна уявляти так, що на елемент діє пуасонівський закон відмов; для експоненційного закону надійності цей потік буде постійної інтенсивністю l, а неекспоненціального - зі змінною інтенсивністю l(t).
Зауважимо, що цей образ годиться тільки в тому випадку, коли елемент, що відмовив. не замінюється новим. Якщо, як ми це робили раніше, негайно замінювати елемент, що відмовив, новим, потік відмов вже не буде пуасонівським. Дійсно, інтенсивність його залежатиме не просто від часу t, що пройшов з початку всього процесу, а й від часу t, що пройшов з випадкового моменту включення саме даногоелемента; отже, потік подій має наслідок і пуассонівським не є.
Якщо протягом всього досліджуваного процесу даний елемент не замінюється і може відмовити трохи більше одного разу, то при описі процесу, що залежить від його функціонування, можна користуватися схемою марковського випадкового процесу. але за змінної, а чи не за постійної інтенсивності потоку відмов.
Якщо неекспоненційний закон надійності порівняно мало відрізняється від експоненціального, можна, з метою спрощення, приблизно замінити його експоненціальним (рис. 3.11).
Параметр l цього закону вибирається те щоб зберегти незмінним математичне очікування часу безвідмовної роботи, рівне, як відомо, площі, обмеженої кривою p(t) і осями координат. Для цього потрібно покласти параметр l показового закону рівним
де - Площа, обмежена кривою надійності p(t). Таким чином, якщо ми хочемо характеризувати надійність елемента деякою середньою інтенсивністю відмов, потрібно як цю інтенсивність взяти величину, обернену до середнього часу безвідмовної роботи елемента.
Вище ми визначили величину як площу, обмежену кривою р(t). Однак, якщо потрібно знати тількисередній час безвідмовної роботи елемента, простіше знайти його безпосередньо за статистичним матеріалом як середнє арифметичневсіх спостеріганих значень випадкової величини T - часу роботи елемента до відмови. Такий спосіб може бути застосований і у випадку, коли кількість дослідів невелика і не дозволяє досить точно збудувати криву р(t).
приклад 1.Надійність елемента р(t) зменшується з часом за лінійним законом (рис. 3.12). Знайти інтенсивність відмов l(t) та середній час безвідмовної роботи елемента.
Рішення. За формулою (3.7) на ділянці (0, t o) маємо:
Відповідно до заданого закону надійності
(0 Другий інтеграл тут дорівнює. Що ж до першого, він обчислений приблизно (численно): , звідки» 0,37 +0,135 = 0,505. приклад 3.Щільність розподілу часу безвідмовної роботи елемента стала на ділянці (t 0 , t 1) і дорівнює нулю поза цією ділянкою (рис. 3.16). Знайти інтенсивність відмов l(t). Рішення.Маємо: , (t o Графік інтенсивності відмов показано на рис. 3.17; при t® t 1, l(t)® ¥ . Найбільш зручним для аналітичного опису є так званий експоненційний (або показовий) закон надійності, який виражається формулою де – постійний параметр. Графік експоненційного закону надійності показано на рис. 7.10. Для цього закону функція розподілу часу безвідмовної роботи має вигляд а щільність Це вже відомий нам показовий закон розподілу, яким розподілено відстань між сусідніми подіями у найпростішому потоці з інтенсивністю (див. § 4 гл. 4). При розгляді питань надійності часто буває зручно уявляти собі справу так, ніби на елемент діє найпростіший потік відмов з інтенсивністю Я; елемент відмовляє у момент, коли приходить перша подія цього потоку. Образ «потоку відмов» набуває реального сенсу, якщо елемент, що відмовив, негайно замінюється новим (відновлюється). Послідовність випадкових моментів часу, в які відбуваються відмови (рис. 7.11), є найпростішим потоком події, а інтервали між подіями - незалежні випадкові величини, розподілені за показовим законом (3,3), Поняття «інтенсивності відмов» може бути введене не тільки для експоненційного, але і для будь-якого іншого закону надійності про щільність вся різниця буде в тому, що при неекспоненційному законі інтенсивність відмов Я буде вже не постійною величиною, а змінною. Інтенсивністю (або інакше "небезпекою") відмов називається відношення щільності розподілу часу безвідмовної роботи елемента до його надійності: Пояснимо фізичне значення цієї характеристики. Нехай одночасно випробовується велика кількість N однорідних елементів, кожен - досі відмови. Позначимо - кількість елементів, що виявилися справними до моменту, як і раніше, - кількість елементів, що відмовили на малій ділянці часу На одиницю часу прийдеться середня кількість відмов Розділимо цю величину не так на загальне число випробовуваних елементів N, але в число справних до моменту t елементів . Неважко переконатися, що при великому N це відношення буде приблизно дорівнює інтенсивності відмов Дійсно, за великого N Але згідно з формулою (2.6) У роботах з надійності наближений вираз (3.5) часто розглядають як визначення інтенсивності відмов, тобто визначають її як середню кількість відмов в одиницю часу, що припадає на один працюючий елемент. Характеристиці можна дати ще одне тлумачення: це умовна щільність ймовірності відмови елемента в даний час t, за умови, що до моменту t він працював безвідмовно. Справді, розглянемо елемент ймовірності - ймовірність того, що за час елемент перейде зі стану "працює" у стан "не працює", за умови, що до моменту t він працював. Насправді, безумовна ймовірність відмови елемента на ділянці дорівнює. Це - ймовірність поєднання двох подій: А – елемент працював справно до моменту В - елемент відмовив на ділянці часу За правилом множення ймовірностей: Враховуючи, що отримаємо: а величина є нічим іншим, як умовна щільність ймовірності переходу зі стану «працює» у стан «відмовив» на момент t. Якщо відома інтенсивність відмов, то можна виразити через неї надійність. Враховуючи, що запишемо формулу (3.4) у вигляді: Інтегруючи, отримаємо: Таким чином, надійність виражається через інтенсивність відмов. В окремому випадку, коли , формула (3.6) дає: тобто вже відомий нам експоненційний закон надійності. Користуючись чином «потоку відмов», можна витлумачити як формулу (3.7), а й більше загальну формулу(3.6). Уявімо (абсолютно умовно!), Що на елемент з довільним законом надійності діє потік відмов зі змінною інтенсивністю Тоді формула (3.6) виражає ймовірність того, що на ділянці часу (0, t) не з'явиться жодної відмови. Таким чином, як при експоненційному, так і за будь-якого іншого закону надійності роботу елемента, починаючи з моменту включення можна уявляти так, що на елемент діє пуасонівський потік відмов; для експоненційного закону надійності це буде потік із постійною інтенсивністю, а для неекспоненційного – із змінною інтенсивністю Зауважимо, що цей образ годиться тільки в тому випадку, коли елемент, що відмовив, не замінюється новим. Якщо, як ми це робили раніше, негайно замінювати елемент, що відмовив новим, потік відмов уже не буде пуасонівським. Дійсно, інтенсивність його залежатиме не просто від часу t, що протік з початку всього процесу, а й від часу, що пройшов з випадкового моменту включення саме даного елемента; отже, потік подій має післядію та пуассонівським не є. Якщо ж протягом усього досліджуваного процесу даний елемент не замінюється і може відмовити не більше одного разу, то при описі процесу, що залежить від його функціонування, можна користуватися схемою випадкового процесу марковського, але при змінній, а не постійної інтенсивності потоку відмов. Якщо неекспоненційний закон надійності порівняно мало відрізняється від експоненціального, можна, з метою спрощення, приблизно замінити його експоненціальним (рис. 7.12). Параметр цього закону вибирається так, щоб зберегти незмінним математичне очікування часу безвідмовної роботи, що дорівнює, як ми знаємо, площі, обмеженої кривої та осями координат. Для цього потрібно покласти параметр показового закону рівним де - площа, обмежена кривою надійності Таким чином, якщо ми хочемо характеризувати надійність елемента деякою середньою інтенсивністю відмов, потрібно як цю інтенсивність взяти величину, обернену до середнього часу безвідмовної роботи елемента. Вище ми визначали величину t як площу, обмежену кривою Однак, якщо потрібно знати тільки середній час безвідмовної роботи елемента, простіше знайти його безпосередньо за статистичним матеріалом як середнє арифметичне всіх спостережених значень випадкової величини Т - часу роботи елемента до його відмови. Такий спосіб може бути застосований і у випадку, коли кількість дослідів невелика і не дозволяє досить точно збудувати криву Приклад 1. Надійність елемента зменшується з часом за лінійним законом (рис. 7.13). Знайти інтенсивність відмов та середній час безвідмовної роботи елемента Рішення. За формулою (3.4) на ділянці ) маємо: Згідно із заданим законом надійності 4
