Faktorlarni yuklash va bo'g'inlarning o'zgarishlar sohasi tushunchalari bilan tanishib chiqqandan so'ng, siz yana taqdimot uchun matritsalar apparatidan foydalanib, bu safar korrelyatsiya koeffitsientlari bo'lgan elementlardan foydalanish mumkin.
Qoida tariqasida, eksperimental ravishda olingan korrelyatsiya koeffitsientlari matritsasi korrelyatsiya matritsasi yoki korrelyatsiya matritsasi deb ataladi.
Ushbu matritsaning elementlari ma'lum bir populyatsiyadagi barcha o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientlari hisoblanadi.
Agar bizda, masalan, testlardan iborat to'plam bo'lsa, u holda eksperimental ravishda olingan korrelyatsiya koeffitsientlari soni bo'ladi.
Ushbu koeffitsientlar matritsaning yarmini to'ldiradi, uning asosiy diagonalining bir tomonida joylashgan. Boshqa tomondan, shubhasiz, bir xil koeffitsientlar mavjud, chunki va hokazo. Shuning uchun korrelyatsiya matritsasi nosimmetrikdir.
3.2-sxema. To'liq korrelyatsiya matritsasi
Ushbu matritsaning diagonalida birlari bor, chunki har bir o'zgaruvchining o'zi bilan korrelyatsiyasi +1 ga teng.
Asosiy diagonalning elementlari 1 ga teng bo'lgan korrelyatsiya matritsasi korrelyatsiyaning "to'liq matritsasi" (3.2-sxema) deb ataladi va belgilanadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, har bir o'zgaruvchining o'zi bilan birliklari yoki korrelyatsiyalarini asosiy diagonalga qo'yish orqali biz matritsada ifodalangan har bir o'zgaruvchining umumiy dispersiyasini hisobga olamiz. Shunday qilib, nafaqat umumiy, balki o'ziga xos omillarning ta'siri ham hisobga olinadi.
Aksincha, agar korrelyatsiya matritsasining bosh diagonalida umumiylikka mos keladigan va faqat o'zgaruvchilarning umumiy dispersiyasiga taalluqli elementlar mavjud bo'lsa, u holda faqat umumiy omillarning ta'siri hisobga olinadi, aniq omillar va xatolarning ta'siri yo'q qilinadi. , ya'ni o'ziga xoslik va xato dispersiyasi tashlanadi.
Asosiy diagonalning elementlari umumiyliklarga mos keladigan korrelyatsiya matritsasi qisqartirilgan deb ataladi va R bilan belgilanadi (3.3-sxema).
3.3-sxema. Qisqartirilgan korrelyatsiya matritsasi
Biz allaqachon faktorlarni yuklash yoki berilgan o'zgaruvchini ma'lum bir omil bilan to'ldirishni muhokama qildik. Faktor yuklanishi ma'lum bir o'zgaruvchi va berilgan omil o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti shakliga ega ekanligi ta'kidlandi.
Ustunlari ma'lum bir umumiy o'zgaruvchining barcha o'zgaruvchilariga nisbatan berilgan faktorning yuklamalaridan iborat bo'lgan va qatorlari berilgan o'zgaruvchining omil yuklamalaridan iborat bo'lgan matritsa omillar matritsasi yoki omil matritsasi deyiladi. Bu erda biz to'liq va qisqartirilgan omil matritsasi haqida ham gapirishimiz mumkin. To'liq omil matritsasining elementlari ma'lum populyatsiyadagi har bir o'zgaruvchining umumiy birlik dispersiyasiga mos keladi. Agar umumiy omillar bo'yicha yuklamalar c, xususiy omillarning yuklanishi va bilan belgilansa, to'liq omil matritsasi quyidagi ko'rinishda ifodalanishi mumkin:
3.4-sxema. To'rt o'zgaruvchi uchun to'liq omil matritsasi
Bu erda ko'rsatilgan omil matritsasi ikkita qismdan iborat bo'lib, birinchi qism to'rtta o'zgaruvchiga tegishli bo'lgan elementlarni va barcha o'zgaruvchilarga tegishli deb taxmin qilingan uchta umumiy omilni o'z ichiga oladi. Bu zaruriy shart emas, chunki matritsaning birinchi qismining ba'zi elementlari nolga teng bo'lishi mumkin, ya'ni ba'zi omillar barcha o'zgaruvchilarga taalluqli emas. Matritsaning birinchi qismining elementlari umumiy omillarning yuklanishidir (masalan, element birinchi o'zgaruvchiga ikkinchi umumiy omilning yuklanishini ko'rsatadi).
Matritsaning ikkinchi qismida har bir satrda bittadan xarakterli omillarning 4 ta yuklanishini ko'ramiz, bu ularning xarakterli tabiatiga mos keladi. Ushbu omillarning har biri faqat bitta o'zgaruvchiga tegishli. Matritsaning ushbu qismining barcha boshqa elementlari nolga teng. Xarakterli omillarni aniq va o'ziga xos va xato bilan bog'liq bo'lish mumkin.
Faktor matritsasining ustuni omilni va uning barcha o'zgaruvchilarga ta'sirini tavsiflaydi. Chiziq o'zgaruvchini va uning mazmunini turli omillar bilan tavsiflaydi, boshqacha aytganda, o'zgaruvchining omil tuzilishi.
Matritsaning faqat birinchi qismini tahlil qilganda, biz har bir o'zgaruvchining umumiy dispersiyasini ko'rsatadigan omil matritsasi bilan ishlaymiz. Matritsaning bu qismi qisqartirilgan deb ataladi va F bilan belgilanadi. Bu matritsa xarakterli omillarning yuklanishini hisobga olmaydi va o'ziga xos dispersiyani hisobga olmaydi. Eslatib o'tamiz, umumiy dispersiyalarning kvadrat ildizlari bo'lgan umumiy dispersiya va omillar yuklamalari haqida yuqorida aytilganlarga muvofiq, kamaytirilgan F omil matritsasining har bir qatori elementlarining kvadratlari yig'indisi ushbu o'zgaruvchining umumiyligiga tengdir.
Shunga ko'ra, to'liq faktor matritsasining barcha qator elementlarining kvadratlari yig'indisi ga yoki berilgan o'zgaruvchining umumiy dispersiyasiga teng.
Faktor tahlili umumiy omillarga qaratilganligi sababli, keyingi ishlarda biz asosan qisqartirilgan korrelyatsiya va qisqartirilgan omil matritsasidan foydalanamiz.
Agar faktorlar tahlili standart sozlamalar bilan qoniqish o'rniga to'g'ri bajarilgan bo'lsa ("kichik jifflar", metodologlar istehzo bilan standart jentlmenlar to'plami deb atashadi), omillarni ajratib olishning afzal usuli maksimal ehtimollik yoki umumlashtirilgan eng kichik kvadratlardir. Bu erda bizni muammo kutishi mumkin: protsedura xato xabarini chiqaradi: korrelyatsiya matritsasi ijobiy aniq emas. Bu nimani anglatadi, nima uchun bu sodir bo'ladi va muammoni qanday hal qilish kerak?
Gap shundaki, faktorizatsiya jarayonida protsedura korrelyatsiya matritsasiga nisbatan teskari matritsa deb ataladigan narsani qidiradi. Bu erda odatiy haqiqiy raqamlar bilan o'xshashlik mavjud: raqamni teskarisiga ko'paytirish orqali biz bitta (masalan, 4 va 0,25) olishimiz kerak. Biroq, ba'zi raqamlar uchun teskari raqamlar mavjud emas - nolni bittaga olib keladigan narsaga ko'paytirib bo'lmaydi. Bu matritsalar bilan bir xil hikoya. Matritsaning teskari ko'paytmasi identifikatsiya matritsasini beradi (birlari diagonalda va boshqa barcha qiymatlar nolga teng). Biroq, ba'zi matritsalar uchun teskari yo'nalishlar mavjud emas, ya'ni bunday holatlar uchun omil tahlili imkonsiz bo'lib qoladi. Bu fakt aniqlovchi deb ataladigan maxsus raqam yordamida aniqlanishi mumkin. Agar u nolga moyil bo'lsa yoki matritsa uchun salbiy bo'lsa, biz muammoga duch kelamiz.
Bu holatning sabablari nimada? Ko'pincha bu o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli munosabatlar mavjudligi tufayli yuzaga keladi. Bu g'alati tuyuladi, chunki biz ko'p o'lchovli usullardan foydalangan holda aynan shunday bog'liqliklarni qidirmoqdamiz. Biroq, bunday bog'liqliklar ehtimollikdan to'xtab, qat'iy deterministik bo'lib qolsa, ko'p o'lchovli tahlil algoritmlari muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Quyidagi misolni ko'rib chiqing. Keling, quyidagi ma'lumotlar to'plamini olamiz:
ma'lumotlar ro'yxati bepul / V1 dan V3 gacha. ma'lumotlarni boshlash. 1 2 3 2 1 2 3 5 4 4 4 5 5 3 1 yakuniy maʼlumotlar. V4 = V1 + V2 + V3 hisoblang.
Oxirgi o'zgaruvchi birinchi uchtasining aniq yig'indisidir. Haqiqiy tadqiqotda bu holat qachon paydo bo'ladi? Subtestlar va umuman test uchun xom ballarni o'zgaruvchilar to'plamiga kiritganimizda; o'zgaruvchilar soni sub'ektlar sonidan ancha katta bo'lganda (ayniqsa, o'zgaruvchilar yuqori darajada korrelyatsiya qilingan yoki cheklangan qiymatlar to'plamiga ega bo'lsa). Bunday holda, aniq chiziqli munosabatlar tasodifan paydo bo'lishi mumkin. Bog'liqliklar ko'pincha o'lchash protsedurasining artefaktidir - masalan, agar kuzatuvlar ichidagi foizlar hisoblansa (masalan, ma'lum turdagi bayonotlar ulushi), tartiblash usuli yoki doimiy summani taqsimlash qo'llanilsa, ba'zi cheklovlar joriy etiladi. muqobil variantlarni tanlash va boshqalar. Ko'rib turganingizdek, bu juda keng tarqalgan holatlar.
Agar yuqoridagi massivning SPSS da faktor tahlilini o'tkazishda siz determinant va teskari korrelyatsiya matritsasi chiqishiga buyurtma bersangiz, paket muammo haqida xabar beradi.
Multikollinearlikni yaratuvchi o'zgaruvchilar guruhini qanday aniqlash mumkin? Ma'lum bo'lishicha, asosiy komponentlarning eski yaxshi usuli, chiziqli bog'liqlikka qaramay, ishlashda davom etadi va nimadir ishlab chiqaradi. Agar ba'zi o'zgaruvchilarning umumiyligi 0,90-0,99 ga yaqinlashayotganini va ba'zi omillarning o'ziga xos qiymatlari juda kichik (yoki hatto salbiy) bo'lishini ko'rsangiz, bu yaxshi belgi emas. Bundan tashqari, varimax aylanishga buyurtma bering va jinoiy aloqada gumon qilingan do'stingiz bilan qaysi guruh o'zgaruvchilari bilan yakunlanganini ko'ring. Odatda bu omilga uning yuki juda katta (masalan, 0,99). Agar bu o'zgaruvchilar to'plami kichik bo'lsa, mazmunan heterojen bo'lsa, artefaktli chiziqli bog'liqlik ehtimoli chiqarib tashlansa va tanlanma etarlicha katta bo'lsa, unda bunday munosabatlarning ochilishini teng darajada qimmatli natija deb hisoblash mumkin. Bunday guruhni regressiya tahlilida aylantirishingiz mumkin: eng yuqori yukni ko'rsatgan o'zgaruvchini bog'liq qilib qo'ying va qolganlarini bashorat qiluvchi sifatida sinab ko'ring. R, ya'ni. ko'p korrelyatsiya koeffitsienti bu holda 1 ga teng bo'lishi kerak. Agar chiziqli ulanish juda e'tiborsiz bo'lsa, keyin regressiya jimgina boshqa bashorat qiluvchilarni chiqarib tashlaydi, nima etishmayotganiga diqqat bilan qarang. Multikollinearlik diagnostikasi natijalariga qo'shimcha buyurtma berish orqali siz oxir-oqibat aniq chiziqli munosabatlarni tashkil etuvchi noxush to'plamni topishingiz mumkin.
Va nihoyat, korrelyatsiya matritsasi ijobiy aniq emasligining yana bir qancha kichikroq sabablari bor. Bu, birinchi navbatda, ko'p sonli javobsizlarning mavjudligi. Ba'zan mavjud ma'lumotlardan maksimal darajada foydalanish uchun tadqiqotchi bo'shliqlarni juftlik bilan qayta ishlashni buyuradi. Natijada, natijada shunday "mantiqsiz" bog'lanish matritsasi bo'lishi mumkinki, uni omil tahlili modeli bajarolmaydi. Ikkinchidan, agar siz adabiyotda keltirilgan korrelyatsiya matritsasini faktorlarga ajratishni tanlasangiz, yaxlitlash raqamlarining salbiy ta'siriga duch kelishingiz mumkin.
Dispersiyaning omilli tahlili
Faktor matritsasi
O'zgaruvchan omil A omil B
Matritsadan ko'rinib turibdiki, turli xil iste'molchilar talablari uchun A va B omil yuklari (yoki og'irliklari) sezilarli darajada farqlanadi. T 1 talabi uchun A faktor yuklanishi ulanishning yaqinligiga mos keladi, 0,83 ga teng korrelyatsiya koeffitsienti bilan tavsiflanadi, ya'ni. yaxshi (yaqin) qaramlik. Xuddi shu talab uchun faktor yuklanishi B beradi r k= 0,3, bu zaif ulanishga mos keladi. Kutilganidek, B omili iste'molchilarning T 2, T 4 va T 6 talablariga juda yaxshi mos keladi.
A va B ning omillar yuklamalari ularning guruhiga bog'liq bo'lmagan iste'molchilar talablariga ta'sir qilishini hisobga olsak, 0,4 dan ortiq bo'lmagan chambarchas bog'liqlik (ya'ni zaif), yuqorida keltirilgan o'zaro bog'liqlik matritsasi ikkita mustaqil omil bilan belgilanadi deb taxmin qilishimiz mumkin. , oltita iste'molchi talablari aniqlanadi (T 7 dan tashqari).
T 7 o'zgaruvchisi mustaqil omil sifatida ajratilishi mumkin, chunki u har qanday iste'molchi talabi bilan muhim korrelyatsiya yukiga ega emas (0,4 dan ortiq). Ammo, bizning fikrimizcha, buni qilmaslik kerak, chunki "eshik zanglamasligi kerak" omili iste'molchilarning talablari bilan bevosita bog'liq emas. dizaynlar eshiklar.
Shunday qilib, da'vo qilishda texnik topshiriq avtomobil eshiklari tuzilishini loyihalash uchun, bu muhandislik xususiyatlari ko'rinishida konstruktiv yechim topish zarur bo'lgan iste'mol talablari sifatida kiritiladi olingan omillar nomlari hisoblanadi.
O'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientining bir prinsipial muhim xususiyatini ko'rsatamiz: kvadrat, atribut dispersiyasining (tarqalishining) qaysi qismi ikki o'zgaruvchiga umumiy ekanligini va bu o'zgaruvchilar qanchalik bir-biriga mos kelishini ko'rsatadi. Shunday qilib, masalan, agar T 1 va T 3 o'zgaruvchilari 0,8 korrelyatsiya bilan 0,64 (0,8 2) darajasiga to'g'ri kelsa, bu ikkala o'zgaruvchining dispersiyalarining 64% umumiy ekanligini anglatadi, ya'ni. mos. Buni ham aytish mumkin jamiyat bu o'zgaruvchilarning 64% ga teng.
Eslatib o'tamiz, omil matritsasidagi omil yuklamalari ham korrelyatsiya koeffitsientlari, lekin omillar va o'zgaruvchilar o'rtasida (iste'molchi talablari).
O'zgaruvchan omil A omil B
Shuning uchun kvadrat omil yuklanishi (dispersiya) berilgan o'zgaruvchining va berilgan omilning umumiylik (yoki bir-biriga mos kelishi) darajasini tavsiflaydi. T 1 o'zgaruvchisi (iste'molchi talabi) bilan ikkala omilning o'xshashlik darajasini (dispersiya D) aniqlaymiz. Buning uchun birinchi o'zgaruvchiga ega bo'lgan omillarning og'irliklari kvadratlari yig'indisini hisoblash kerak, ya'ni. 0,83 x 0,83 + 0,3 x 0,3 = 0,70. Shunday qilib, T 1 o'zgaruvchining ikkala omil bilan umumiyligi 70% ni tashkil qiladi. Bu juda muhim o'xshashlik.
Shu bilan birga, past umumiylik o'zgaruvchining tahlilga kiritilgan boshqa o'zgaruvchilardan sifat jihatidan farq qiladigan narsani o'lchashini yoki aks ettirishini ko'rsatishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, bu o'zgaruvchi omillardan biriga ko'ra omillar bilan birlashmaydi: yoki u boshqa kontseptsiyani (masalan, T 7 o'zgaruvchisi) o'lchaydi yoki katta o'lchov xatosiga ega yoki dispersiyani buzadigan xususiyatlar mavjud.
Shuni ta'kidlash kerakki, har bir omilning ahamiyati o'zgaruvchilar orasidagi dispersiya miqdori va omil yuklanishi (og'irlik) bilan ham belgilanadi. Faktorning o'ziga xos qiymatini hisoblash uchun omil matritsasining har bir ustunida har bir o'zgaruvchi uchun omil yuklanishining kvadratlari yig'indisini topishingiz kerak. Shunday qilib, masalan, A (D A) omilining dispersiyasi 2,42 (0,83 x 0,83 + 0,3 x 0,3 + 0,83 x 0,83 + 0,4 x 0,4 + 0,8 x 0,8 + 0,35 x 0,35) bo'ladi. B omilining ahamiyatini hisoblash D B = 2,64 ekanligini ko'rsatdi, ya'ni. B omilining ahamiyati A omildan yuqori.
Agar omilning o'z qiymati o'zgaruvchilar soniga bo'linsa (bizning misolimizda ettita bo'lsa), natijada olingan qiymat asl korrelyatsiya matritsasidagi g dispersiyaning (yoki ma'lumot miqdorining) qancha qismini tashkil etishini ko'rsatadi. . A omil uchun g ~ 0,34 (34%), va B omil uchun - g = 0,38 (38%). Natijalarni sarhisob qilsak, biz 72% olamiz. Shunday qilib, ikkita omil birlashtirilganda, dastlabki matritsa ko'rsatkichlaridagi variatsiyaning atigi 72% ni to'ldiradi. Bu faktorlashtirish natijasida dastlabki matritsadagi ma'lumotlarning bir qismi ikki faktorli modelni qurish uchun qurbon qilinganligini anglatadi. Natijada, agar olti faktorli model qabul qilinganda tiklanishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarning 28 foizi etishmayotgan edi.
Eshik dizayni talablariga mos keladigan barcha ko'rib chiqilgan o'zgaruvchilar hisobga olinganligini hisobga olsak, xato qayerga ketdi? Bir omilga bog'liq bo'lgan o'zgaruvchilarning korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlari biroz kam baholangan bo'lishi mumkin. O'tkazilgan tahlilni hisobga olgan holda, korrelyatsiya matritsasida korrelyatsiya koeffitsientlarining boshqa qiymatlarini shakllantirishga qaytish mumkin bo'ladi (2.2-jadvalga qarang).
Amalda biz ko'pincha mustaqil omillarning soni texnik yoki iqtisodiy nuqtai nazardan muammoni hal qilishda barchasini hisobga oladigan darajada ko'p bo'lgan vaziyatga duch kelamiz. Faktorlar sonini cheklashning bir qancha usullari mavjud. Ulardan eng mashhuri Pareto tahlilidir. Bunday holda, ularning umumiy ahamiyatining 80-85% chegarasiga to'g'ri keladigan omillar tanlanadi (ularning ahamiyati pasayadi).
Faktor tahlili yangi mahsulot uchun texnik shartlarni yaratishda xorijda keng qo'llaniladigan sifat funksiyasini tuzilmalash (QFD) usulini amalga oshirish uchun ishlatilishi mumkin.
Milliy tadqiqot yadro universiteti "MEPhI"Biznes informatika va menejment fakulteti
murakkab tizimlar
Iqtisodiyot va boshqaruv kafedrasi
sanoatda (71-son)
Matematik va instrumental ishlov berish usullari
statistik ma'lumotlar
Kireev V.S.,
t.f.n., dotsent
Email:
Moskva, 2017 yil
1
Normalizatsiya
O'nlik shkalaMinimaks normalizatsiya
Standart transformatsiya yordamida normallashtirish
Elementli transformatsiyalar yordamida normallashtirish
2
O'nlik shkala
Vi"
Vi k , maksimal (Vi) 1
10
"
3
Minimaks normalizatsiya
ViVi min (Vi)
"
i
maksimal (Vi) min (Vi)
i
i
4
Standart og'ish yordamida normalizatsiya
Vi"
V
V
Vi V
V
- selektiv
o'rtacha
- o'rtacha kvadrat namunasi
og'ish
5
Elementli transformatsiyalar yordamida normallashtirish
Vi f Vi"
Vi 1
"
log Vi
, Vi log Vi
"
Vi exp Vi
"
Vi Vi, Vi 1 y
Vi
"
y
"
6
Faktor tahlili
(FA) - bu usullar to'plamitahlil qilinayotgan xususiyatlarning real hayotiy aloqalari asosi, bog'lanishlarning o'zi
kuzatilgan ob'ektlar, yashirin (yashirin, yashirin) aniqlash imkonini beradi.
tashkiliy tuzilma va rivojlanish mexanizmining umumlashtiruvchi xarakteristikalari
o‘rganilayotgan hodisa va jarayonlar.
Tadqiqot amaliyotida omilli tahlil usullari asosan qo'llaniladi
ma'lumotni siqish, oz sonli umumlashtirishni olish uchun yo'l
elementar belgilarning o'zgaruvchanligini (tarqalishi) (faktorli tahlilning R-texnikasi) yoki kuzatilgan ob'ektlarning o'zgaruvchanligini (Q-texnikasi) tushuntiruvchi xususiyatlar
omil tahlili).
Faktorli tahlil algoritmlari qisqartirilgandan foydalanishga asoslangan
juft korrelyatsiya matritsalari (kovarianslar). Qisqartirilgan matritsa matritsadir
asosiy diagonali to'liq korrelyatsiya birliklari (baholari) mavjud emas yoki
umumiy dispersiyaning taxminlari va ularning kamaytirilgan, biroz qisqartirilgan qiymatlari. At
Bu tahlil barcha tafovutlarni tushuntirib bera olmasligini ko'rsatadi.
o'rganilayotgan xususiyatlar (ob'ektlar) va ularning ba'zilari, odatda katta. Qolgan
dispersiyaning tushuntirilmagan qismi o'ziga xoslik tufayli yuzaga keladigan xususiyatdir
kuzatilgan ob'ektlar yoki hodisalarni, jarayonlarni qayd etishda qilingan xatolar,
bular. kiritilgan ma'lumotlarning ishonchsizligi.
7
FA usullarining tasnifi
8Asosiy komponent usuli
(MGK) o'lchamlilikni kamaytirish uchun ishlatiladisezilarli yo'qotishlarga olib kelmasdan, kuzatilgan vektorlar maydoni
axborot mazmuni. PCA ning asosi normal taqsimot qonunidir
ko'p o'lchovli vektorlar. PCAda tasodifiy o'zgaruvchilarning chiziqli birikmalari aniqlanadi
xarakterli
vektorlar
kovariatsiya
matritsalar.
Asosiy
komponentlar ortogonal koordinatalar sistemasini ifodalaydi, unda dispersiya mavjud
komponentlar statistik xossalari bilan tavsiflanadi. MGC FA sifatida tasniflanmaydi, garchi u bor
shunga o'xshash algoritm va shunga o'xshash analitik muammolarni hal qiladi. Uning asosiy farqi
qayta ishlanishi kerak bo'lgan qisqartirilgan emas, balki oddiy matritsa ekanligidadir
asosiy diagonalida birliklar joylashgan juft korrelyatsiyalar, kovariatsiyalar.
Lk chiziqli fazoning X vektorlarining boshlang'ich to'plami berilgan bo'lsin. Ilova
asosiy komponentlar usuli Lm (m≤k) fazoning asosiga o'tishga imkon beradi, masalan.
ya'ni: birinchi komponent (birinchi bazis vektor) bo'ylab yo'nalishga mos keladi
bunda asl to'plam vektorlarining dispersiyasi maksimal bo'ladi. Ikkinchi yo'nalish
komponentlar (ikkinchi bazis vektorining) boshlang'ichning dispersiyasi bo'ladigan tarzda tanlanadi
birinchi vektorga ortogonallik sharti ostida uning bo'ylab vektorlar maksimal bo'lgan
asos. Qolgan bazis vektorlari ham xuddi shunday aniqlanadi. Natijada, yo'nalishlar
Asl to'plamning dispersiyasini maksimallashtirish uchun bazis vektorlari tanlanadi
asosiy komponentlar (yoki asosiy komponentlar) deb ataladigan birinchi komponentlar bo'ylab
o'qlari). Ko'rinib turibdiki, vektorlarning asl to'plami vektorlarining asosiy o'zgaruvchanligi
dastlabki bir necha komponentlar bilan ifodalanadi va imkoniyat paydo bo'ladi, tashlab yuboriladi
kamroq muhim komponentlar, pastki o'lchamdagi bo'shliqqa o'ting.
9
10. Asosiy komponent usuli. Sxema
1011. Asosiy komponent usuli. Hisob matritsasi
Hisoblash matritsasi T bizga asl namunalarning proektsiyalarini beradi (J-o'lchovlivektorlar
x1,…,xI)
yoqilgan
pastki fazo
asosiy
komponent
(A o'lchamli).
T matritsaning t1,…,tI qatorlari namunalar koordinatalari yangi tizim koordinatalar
T matritsasining t1,…,tA ustunlari ortogonal bo‘lib, barcha namunalarning proyeksiyalarini ifodalaydi.
bitta yangi koordinata o'qi.
PCA usuli yordamida ma'lumotlarni o'rganishda grafiklarga alohida e'tibor beriladi
hisoblar. Ular qanday qilib tushunish uchun foydali ma'lumotlarni o'z ichiga oladi
ma'lumotlar. Hisoblash grafigida har bir namuna ko'pincha koordinatalarda (ti, tj) tasvirlangan
– (t1, t2), PC1 va PC2 bilan belgilanadi. Ikki nuqtaning yaqinligi ularning o'xshashligini anglatadi, ya'ni.
ijobiy korrelyatsiya. To'g'ri burchak ostida joylashgan nuqtalar
o'zaro bog'liq emas va diametral qarama-qarshi joylashganlar mavjud
salbiy korrelyatsiya.
11
12. Asosiy komponent usuli. Yuklash matritsasi
P yuk matritsasi asl fazodan o'tish matritsasio'zgaruvchilar x1, …xJ (J-o'lchovli) asosiy komponentlar fazosiga (A-o'lchovli). Har biri
P matritsasining qatori t va x o'zgaruvchilarni bog'lovchi koeffitsientlardan iborat.
Masalan, a-chi qator- barcha o'zgaruvchilarning x1, ...xJ boshning a-o'qiga proyeksiyasi
komponent. Har bir P ustuni mos keladigan xj o'zgaruvchining yangisiga proyeksiyasidir
koordinata tizimi.
O'zgaruvchilar rolini tekshirish uchun yuklanishlar syujeti ishlatiladi. Bu haqida
Grafikda har bir xj o'zgaruvchisi koordinatadagi nuqta (pi, pj) bilan ifodalanadi, masalan.
(p1, p2). Uni hisoblar rejasiga o'xshash tahlil qilib, qaysi o'zgaruvchilarni tushunishingiz mumkin
bog'liq va mustaqildir. Hisoblarning juftlashtirilgan grafiklarini birgalikda o'rganish va
yuklaydi, ko'p narsani ham berishi mumkin foydali ma'lumotlar ma'lumotlar haqida.
12
13. Asosiy komponent usulining xususiyatlari
Asosiy komponent usuli quyidagi taxminlarga asoslanadi:ma'lumotlarning o'lchamlarini samarali ravishda kamaytirish mumkin degan taxmin
chiziqli o'zgartirish orqali;
eng ko'p ma'lumot qaysi yo'nalishlar tomonidan amalga oshiriladi degan taxmin
kirish ma'lumotlarining tarqalishi maksimal.
Bu shartlar har doim ham bajarilmasligini osongina ko'rish mumkin. Masalan,
agar kirish to'plamining nuqtalari gipersfera yuzasida joylashgan bo'lsa, unda yo'q
chiziqli transformatsiya o'lchovni kamaytira olmaydi (lekin u buni osonlikcha engishi mumkin).
nuqtadan sharning markazigacha bo'lgan masofaga asoslangan chiziqli bo'lmagan transformatsiya).
Bu kamchilik barcha chiziqli algoritmlar uchun bir xil darajada xarakterlidir va bo'lishi mumkin
qo'shimcha qo'g'irchoq o'zgaruvchilar yordamida yengish
kirish ma'lumotlar to'plamining elementlaridan chiziqli bo'lmagan funktsiyalar (yadro hiylasi deb ataladi).
Asosiy komponent usulining ikkinchi kamchiligi - bu yo'nalishlar
Tarqalishni maksimal darajada oshiradiganlar har doim ham ma'lumot tarkibini maksimal darajada oshirmaydi.
Misol uchun, maksimal dispersiyaga ega o'zgaruvchi deyarli yo'q bo'lishi mumkin
ma'lumot, minimal dispersiyaga ega o'zgaruvchi esa imkon beradi
butunlay alohida sinflar. Bu holda asosiy komponent usuli beradi
birinchi (kamroq ma'lumotli) o'zgaruvchiga ustunlik. Hammasi qo'shimcha
vektor bilan bog'liq ma'lumotlar (masalan, tasvirning biriga tegishlimi yoki yo'qmi
sinflar) e'tiborga olinmaydi.
13
14. MGC uchun misol ma'lumotlari
K. Esbensen. Ko'p o'zgaruvchan ma'lumotlarni tahlil qilish, qisqartma. qator ingliz tilidan ostidaed. O. Rodionova, RAS Kimyoviy fizika institutidan, 2005 y
14
15. MGC uchun ma'lumotlarga misol. Belgilar
BalandligiBalandligi: santimetrda
Og'irligi
Og'irligi: kilogrammda
Sochlar
Sochlar: qisqa: –1 yoki uzun:
+1
Oyoq kiyimlari
Poyafzal: Evropa o'lchami
standart
Yosh
Yoshi: yillar ichida
Daromad
Daromad: yiliga ming evroda
Pivo
Pivo: yiliga litrda iste'mol
Sharob
Sharob: yiliga litrda iste'mol
Jinsiy aloqa
Jins: erkak: –1 yoki ayol: +1
Kuch
Kuch: indeks asosida
jismoniy qobiliyat testi
Mintaqa
Hudud: shimol: –1 yoki janub: +1
IQ
IQ,
standartlashtirilgan test bilan o'lchanadi
15
16. Hisob matritsasi
1617. Yuklash matritsasi
1718. Yangi komponentlar fazosida ob'ektlarni tanlash
Ayollar (F) ● va ● doiralar bilan ko'rsatilgan vaerkaklar (M) - kvadratlar ■ va ■. Shimoliy (N)
ko'k ■ va janubiy (S) qizil rang bilan ifodalanadi
rang ●.
Belgilarning o'lchami va rangi daromadni aks ettiradi - nima
qanchalik katta va engil bo'lsa, u qanchalik katta bo'lsa. Raqamlar
yoshni ifodalaydi
18
19. Yangi komponentlar fazosidagi boshlang'ich o'zgaruvchilar
1920. Ekran syujeti
2021. Asosiy omillar usuli
Asosiy omil usuli paradigmasida xususiyatning o'lchamini kamaytirish vazifasibo'shliq n ta xususiyatni kichikroq yordamida tushuntirish mumkin kabi ko'rinadi
m-yashirin xususiyatlar soni - umumiy omillar, bu erda m<
deb atalmish xarakterli omillar yordamida hisobga olinadi.
ishtirokida olib borilgan statistik tadqiqotning yakuniy maqsadi
omillarni tahlil qilish apparati, qoida tariqasida, aniqlash va izohlashdan iborat
bir vaqtning o'zida ikkalasini ham minimallashtirish istagi bilan yashirin umumiy omillar
soni va ularning o'ziga xos qoldiq tasodifiy bog'liqlik darajasi
komponent.
Har bir belgi
natijasidir
m gipotetik umumiy va ta'sirlari
xarakterli omillardan biri:
X 1 a11 f1 a12 f 2 a1m f m d1V1
X a f a f a f d V
2
21 1
22 2
2m m
2
X n a n1 f1 a n 2 f 2 a nm f m d nVn
21
22. Omillarning aylanishi
Aylanish - oldingi bosqichda olingan omillarni aylantirish usuliyanada mazmunli bo'lganlarga. Rotatsiya quyidagilarga bo'linadi:
grafik (ikki o'lchovdan ortiq foydalanilmaydigan o'qlarni chizish
tahlil qilish),
analitik (ma'lum bir aylanish mezoni tanlangan, ortogonal va
qiya) va
matritsa-taxminan (aylanish ma'lum bir berilganga yaqinlashishdan iborat
maqsadli matritsa).
Aylanish natijasi ikkilamchi omil strukturasidir. Asosiy
omil tuzilishi (birlamchi yuklamalardan iborat (oldingi
bosqich) aslida nuqtalarning ortogonal koordinata o'qlariga proyeksiyalaridir. Bu aniq
agar proyeksiyalar nolga teng bo'lsa, unda struktura oddiyroq bo'ladi. Va prognozlar nolga teng bo'ladi,
agar nuqta biron bir o'qda yotsa. Shunday qilib, aylanishni o'tish deb hisoblash mumkin
bir sistemada ma'lum koordinatalarga ega bo'lgan bir koordinata tizimi (
birlamchi omillar) va boshqa tizimdagi iterativ tanlangan koordinatalar
(ikkilamchi omillar). Ikkilamchi tuzilishga ega bo'lganda, ular shunga o'xshashga o'tishadi
nuqtalar (ob'ektlar) orqali imkon qadar ko'proq o'qlarni chizish uchun koordinatalar tizimi
imkon qadar ko'p prognozlar (va shuning uchun yuklar) nolga teng edi. Ayni paytda ular mumkin
ortogonallik va birinchidan oxirgigacha kamayib borayotgan muhimlik cheklovlari olib tashlanadi
birlamchi tuzilishga xos omillar.
22
23. Ortogonal aylanish
omillarni aylantiramiz, lekin emasularning bir-biriga ortogonalligini buzamiz. Ortogonal aylanish
asl birlamchi yuk matritsasini ortogonalga ko'paytirishni nazarda tutadi
R matritsasi (bunday matritsa
V=BR
Umumiy holatda ortogonal aylanish algoritmi quyidagicha:
0. B - birlamchi omillar matritsasi.
1.
Ni axtarish
ortogonal
matritsa
RT
hajmi
2*2
uchun
ikki
B matritsasining bi va bj ustunlari (omillari) shundayki, matritsa uchun mezon
R maksimal.
2.
bi va bj ustunlarini ustunlar bilan almashtiring
3.
Biz barcha ustunlar tartiblanganligini tekshiramiz. Agar yo'q bo'lsa, 1-ga o'ting.
4.
Biz butun matritsa uchun mezon oshganligini tekshiramiz. Ha bo'lsa, 1-ga o'ting. If
yo'q, keyin algoritmning oxiri.
.
23
24. Varimax aylanish
Ushbu mezon rasmiylashtirishdan foydalanadio'zgaruvchining kvadrat yuklarining dispersiyasi:
murakkablik
omil
orqali
Keyin umumiy mezon quyidagicha yozilishi mumkin:
Shu bilan birga, omil yuklamalarini bartaraf etish uchun normalizatsiya qilish mumkin
individual o'zgaruvchilarning ta'siri.
24
25. Kvartimaks aylanish
i-o’zgaruvchining omil murakkabligi q tushunchasini orqali rasmiylashtiramizomillarning kvadratik faktor yuklarining dispersiyasi:
Bu yerda r faktor matritsasining ustunlar soni, bij - j-chi omilning yuklanishi.
i-o'zgaruvchining omili - o'rtacha qiymat. Kvartimax mezoni harakat qiladi
erishish uchun barcha o'zgaruvchilar to'plamining murakkabligini maksimal darajada oshirish
omillarni talqin qilish qulayligi (ustun tavsiflarini osonlashtirishga qaratilgan):
Shuni hisobga olib
- doimiy (matritsaning xususiy qiymatlari yig'indisi
kovariatsiya) va o'rtachani kengaytirish (shuningdek, quvvat funktsiyasini hisobga olgan holda).
argumentga mutanosib ravishda o'sadi), biz uchun mezonning yakuniy shaklini olamiz
maksimallashtirish:
25
26. Omillar sonini aniqlash mezonlari
Faktor tahlilining asosiy muammosi identifikatsiya va izohlashdirasosiy omillar. Komponentlarni tanlashda tadqiqotchi odatda duch keladi
sezilarli qiyinchiliklar, chunki aniqlash uchun aniq mezon yo'q
omillar, shuning uchun natijalarni talqin qilishda sub'ektivlik muqarrar.
Faktorlar sonini aniqlash uchun bir nechta keng tarqalgan mezonlar mavjud.
Ulardan ba'zilari boshqalarga muqobil, ba'zilari esa
mezonlardan biri ikkinchisini to'ldirishi uchun birgalikda ishlatilishi mumkin:
Kayzer mezoni yoki xususiy qiymat mezoni. Ushbu mezon taklif etiladi
Kaiser va, ehtimol, eng keng tarqalgan. Faqat tanlangan
Xususiy qiymatlari 1 ga teng yoki undan katta bo'lgan omillar. Bu shuni anglatadiki, agar
omil kamida bitta dispersiyaga ekvivalent dispersiyani ajratmaydi
o'zgaruvchi, keyin u o'tkazib yuboriladi.
Skrining mezoni yoki skrining mezoni. U
birinchi marta psixolog Cattell tomonidan taklif qilingan grafik usul. O'z
qiymatlarni oddiy grafik shaklida tasvirlash mumkin. Kettell buni topishni taklif qildi
grafikdagi o'z qiymatlarining chapdan o'ngga kamayishi maksimal bo'lgan joy
sekinlashadi. Bu nuqtaning o'ng tomonida faqat bor deb taxmin qilinadi
"Faktorial skree" - "slayd" geologik atama ma'nosini anglatadi
qoyali yonbag'irning tubida to'plangan tosh bo'laklari.
26
27. Omillar sonini aniqlash mezonlari. Davomi
Muhimlik mezoni. Bu, ayniqsa, umumiy modelda samarali bo'ladijami ma'lum va ikkinchi darajali omillar mavjud emas. Ammo bu mezon mos emas
modeldagi o'zgarishlarni izlash va faqat usul yordamida omil tahlilida amalga oshiriladi
eng kichik kvadratlar yoki maksimal ehtimollik.
Qayta tiklanadigan dispersiya nisbati mezoni. Omillar ulush bo'yicha tartiblangan
deterministik dispersiya, dispersiya ulushi ahamiyatsiz bo'lib chiqsa,
chiqarish to'xtatilishi kerak. Belgilangan omillarni tushuntirish maqsadga muvofiqdir
tarqalishining 80% dan ortig'i. Mezonning kamchiliklari: birinchidan, tanlov sub'ektivdir, ikkinchidan, ma'lumotlarning o'ziga xosligi barcha asosiy omillar qila olmaydigan bo'lishi mumkin;
tarqalishning istalgan foizini birgalikda tushuntiring. Shuning uchun asosiy omillar
birgalikda kamida 50,1% dispersiyani tushuntirishi kerak.
Sharhlanuvchanlik va o'zgarmaslik mezoni. Bu mezon birlashtiradi
sub'ektiv manfaatlar bilan statistik aniqlik. Unga ko'ra, asosiy omillar
ularni aniq talqin qilish imkoni bo'lsa, izolyatsiya qilinishi mumkin. U, uning ichida
o'z navbatida, omil yuklamalari kattaligiga bog'liq, ya'ni, agar omil kamida o'z ichiga oladi
bitta kuchli yuk, uni talqin qilish mumkin. Teskari variant ham mumkin -
agar kuchli yuklar bo'lsa, lekin talqin qilish qiyin bo'lsa, bu
Komponentlarni tashlab yuborish afzalroqdir.
27
28. MGC dan foydalanishga misol
Maylimavjud
ergashish
ko'rsatkichlar
iqtisodiy
tadbirlar
korxonalar: mehnat zichligi (x1), sotib olingan mahsulotlarning ishlab chiqarishdagi ulushi (x2),
asbob-uskunalarni almashtirish koeffitsienti (x3), korxonadagi ishchilar ulushi
(x4), har bir xodim uchun bonuslar va mukofotlar (x5), rentabellik (y). Chiziqli
regressiya modeli quyidagicha ko'rinadi:
y = b0 + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3 + b4*x4 + b5*x5
x1
x2
x3
x4
x5
y
0,51
0,2
1,47
0,72
0,67
9,8
0,36
0,64
1,27
0,7
0,98
13,2
0,23
0,42
1,51
0,66
1,16
17,3
0,26
0,27
1,46
0,69
0,54
7,1
0,27
0,37
1,27
0,71
1,23
11,5
0,29
0,38
1,43
0,73
0,78
12,1
0,01
0,35
1,5
0,65
1,16
15,2
0,02
0,42
1,35
0,82
2,44
31,3
0,18
0,32
1,41
0,8
1,06
11,6
0,25
0,33
1,47
0,83
2,13
30,1
28
29. MGC dan foydalanishga misol
Statistik paketda regressiya modelini qurish ko'rsatadiX4 koeffitsienti ahamiyatli emas (p-qiymat > a = 5%) va uni modeldan chiqarib tashlash mumkin.
Nima
X4-ni yo'q qilgandan so'ng, model yaratish jarayoni yana boshlanadi.
29
30. MGC dan foydalanishga misol
PCA uchun Kaiser mezoni shuni ko'rsatadiki, tushuntiruvchi 2 ta komponentni qoldirish mumkinasl farqning taxminan 80%.
Tanlangan komponentlar uchun siz asl koordinatalar tizimida tenglamalar yaratishingiz mumkin:
U1 = 0,41*x1 - 0,57*x2 + 0,49*x3 - 0,52*x5
U2 = 0,61*x1 + 0,38*x2 - 0,53*x3 - 0,44*x5
30
31. MGC dan foydalanishga misol
Endi siz yangi komponentlarda yangi regressiya modelini yaratishingiz mumkin:y = 15,92 - 3,74 * U1 - 3,87 * U2
31
32. Singular qiymat dekompozitsiyasi (SVD) usuli
Beltrami va Iordaniya yagonalik nazariyasi asoschilari hisoblanadiparchalanish. Beltrami - birinchi bo'lib asar nashr etgani uchun
yakka tartibdagi parchalanish va uning nafisligi va to'liqligi uchun Iordaniya
ish. Beltramining ishi Journal of Mathematics jurnalida paydo bo'ldi
Italiya universitetlari talabalaridan foydalanish” 1873 yil, asosiy
maqsadi talabalarni tanishtirish edi
ikki chiziqli shakllar Usulning mohiyati n o'lchamli A matritsaning parchalanishidir
d darajali x m = daraja (M)<= min(n,m) в произведение матриц меньшего
daraja:
A =UDVT,
bu erda n x d o'lchamdagi U va m x d o'lchamdagi V matritsalar iborat
ning xos vektorlari bo'lgan ortonormal ustunlar
mos ravishda AAT va ATA matritsalarining nolga teng bo'lmagan xos qiymatlari va
UTU = V TV = I, va d x d o'lchamdagi D bilan diagonal matritsa
musbat diagonal elementlar tartiblangan
kamayish tartibida. U matritsa ustunlari,
A matritsa ustun fazosining ortonormal asosi va ustunlardir
V matritsa A matritsa satr fazosining ortonormal asosidir.
32
33. Singular qiymat dekompozitsiyasi (SVD) usuli
SVD parchalanishining muhim xususiyati shundaki, agark uchun
U va V matritsalarida faqat birinchi k ustunni, keyin esa matritsani qoldiring
Ak=UkDkVkT
ga nisbatan A matritsasining eng yaxshi yaqinlashuvi bo'ladi
K darajali barcha matritsalar orasida Frobenius normasi.
Ushbu kesish birinchi navbatda vektorning o'lchamini kamaytiradi
bo'sh joy, saqlash va hisoblash talablarini kamaytiradi
model talablari.
Ikkinchidan, kichik yagona qiymatlarni tashlab, kichik
ma'lumotlardagi shovqindan kelib chiqadigan buzilishlar olib tashlanadi, qoldiriladi
faqat ushbu modeldagi eng kuchli effektlar va tendentsiyalar.
Umuman olganda, korrelyatsiya matritsasini tushuntirish uchun bitta emas, balki bir nechta omillar kerak bo'ladi. Har bir omil ustun bilan tavsiflanadi , har bir o'zgaruvchi matritsaning qatoridir. Faktor deyiladi umumiy agar uning barcha yuklari noldan sezilarli darajada farq qilsa va u barcha o'zgaruvchilardan yuklarga ega bo'lsa. Umumiy omilda barcha o'zgaruvchilardan yuklamalar mavjud va bunday omil sxematik tarzda 1-rasmda ko'rsatilgan. ustun .Omil deyiladi umumiy, agar uning yuklarining kamida ikkitasi noldan sezilarli darajada farq qilsa. Ustunlar, yoniq guruch. 1. kabi umumiy omillarni ifodalaydi. Ular ikkitadan ortiq o'zgaruvchilarga yuklanadi. Agar omil noldan sezilarli darajada farq qiladigan faqat bitta yukga ega bo'lsa, u chaqiriladi xarakterli omil(ustunlarga qarang guruch. 1.) Har bir bunday omil faqat bitta o'zgaruvchini ifodalaydi. Omilli tahlilda umumiy omillar hal qiluvchi ahamiyatga ega. Agar umumiy omillar aniqlansa, xarakterli omillar avtomatik ravishda olinadi. Umumiy omillar bo'yicha o'zgaruvchining yuqori yuklanishlar soni deyiladi murakkablik. Masalan, on o'zgaruvchisi 1-rasm. qiyinligi 2, o'zgaruvchining qiyinligi uch.
Guruch. 1. Omilli xaritalashning sxematik tasviri. Xoch yuqori omil yuklanishini bildiradi.
Shunday qilib, modelni yarataylik
, (4)
kuzatilmaydigan omillar qayerda m< k,
Kuzatilgan o'zgaruvchilar (dastlabki xususiyatlar),
Faktor yuklamalari,
Faqat nol o'rtacha va dispersiya bilan bog'liq tasodifiy xato:
Va - bog'liqsiz,
O'rtacha va birlik dispersiyasi nolga teng bo'lgan korrelyatsiyasiz tasodifiy o'zgaruvchilar 
.
(5)
Bu yerga - i Omillar ta'sirida dispersiyaning qismini ifodalovchi th jamoa xato tufayli yuzaga kelgan dispersiyaning bir qismidir. Matritsa yozuvida omil modeli quyidagi shaklni oladi:
(6)
bu yerda yuklash matritsasi, omillar vektori, xatolar vektori.
Faktorlar bilan ifodalangan o'zgaruvchilar o'rtasidagi korrelyatsiyalarni quyidagicha aniqlash mumkin:
Qayerda - xato dispersiyalarini o'z ichiga olgan tartibning diagonal matritsasi[i]. Asosiy shart: - diagonal, - manfiy bo'lmagan aniq matritsa. Yechimning o'ziga xosligi uchun qo'shimcha shart - bu matritsaning diagonalligi.
Omilli tenglamani yechishning ko'plab usullari mavjud. Faktor tahlilining eng qadimgi usuli asosiy omil usuli, bunda asosiy komponentlarni tahlil qilish texnikasi asosiy diagonaldagi umumiyliklar bilan qisqartirilgan korrelyatsiya matritsasiga qo'llaniladi. Umumiylikni baholash uchun ular odatda mos keladigan o'zgaruvchi va boshqa o'zgaruvchilar to'plami o'rtasidagi ko'p korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanadilar.
Omilli tahlil asosiy komponent tahlilidagi kabi xarakterli tenglama asosida amalga oshiriladi:
(8)
Qaysi birini yechish orqali ular l i xos qiymatlari va normallashtirilgan (xarakteristik) vektorlar V matritsasini oladi, so‘ngra faktorli xaritalash matritsasini topadi:
Haqiqiy parametr baholariga yaqinlashadigan jamoa baholari va omillar yuklamalarini olish uchun empirik iterativ algoritmdan foydalaniladi. Algoritmning mohiyati quyidagilardan iborat: omillar yuklanishining dastlabki baholari asosiy omil usuli yordamida aniqlanadi. R korrelyatsiya matritsasi asosida asosiy komponentlar va umumiy omillarning baholari rasmiy ravishda aniqlanadi:
(9)
bu yerda R matritsaning tegishli xos qiymati;
Manba ma'lumotlari (ustun vektori);
Umumiy omillar uchun koeffitsientlar;
Asosiy komponentlar (ustun vektorlari).
Faktor yuklarining taxminlari qiymatlardir
Umumiy baholar sifatida olinadi
Keyingi iteratsiyada R matritsasi o'zgartiriladi - asosiy diagonalning elementlari o'rniga oldingi iteratsiyada olingan jamoaviy baholar almashtiriladi; O'zgartirilgan R matritsasi asosida, komponentlar tahlilining hisoblash sxemasidan foydalangan holda, asosiy komponentlarni hisoblash (komponentlar tahlili nuqtai nazaridan bunday bo'lmagan) asosiy omillar, omillar yuklari, umumiylik va o‘ziga xosliklari izlanadi. Jamiyat baholari ikki qo'shni iteratsiyada ozgina o'zgarganda, faktor tahlilini to'liq deb hisoblash mumkin.
Eslatma. R matritsasining o'zgarishi R+ matritsasining ijobiy aniqligini buzishi va natijada R+ ning ba'zi xos qiymatlari salbiy bo'lishi mumkin.
